Определение 2.3.

Статистика называется выборочной дисперсией.

Легко видеть, что оценка является несмещенной, действительно:

.

Для доказательства состоятельности оценки может быть использована теорема Хинчина или утверждение 2.1. Заметим, что в случае использования утверждения 2.1 требуется существование дисперсий случайных величин , в то время как теорема Хинчина применима даже в тех случаях, когда у случайных величин дисперсии не существует.

В данном случае величины , , …, образуют выборку, поэтому они независимы, имеют одинаковую функцию распределения, и, следовательно, одинаковое математическое ожидание , конечность которого гарантируется исходной постановкой рассматриваемой задачи оценки. Таким образом, к совокупности случайных величин , …, при применима теорема Хинчина, и поскольку статистика есть в точности получим:

, при ,

что и означает состоятельность оценки .

Поскольку оценка является несмещенной, то состоятельность оценки может быть доказана с использованием утверждения 2.1, при условии, что дисперсия оценки конечна и стремиться к нулю с ростом . Вычислим непосредственно из определения статистики :

поскольку величины , …, образуют выборку, то согласно определению выборки они независимы в совокупности и, следовательно, попарно независимы, так что при . При , конечно, , поэтому:

(2.4)

Поскольку предполагается конечной по условию постановки исходной задачи, приведенной в начале пункта, то дисперсия конечна и монотонно стремится к нулю с ростом , поэтому в силу утверждения 2.1 оценка является состоятельной.

Исследуем свойства оценки , предварительно преобразовав статистику к следующему виду:

.

Вычислим математическое ожидание :

(поскольку , то

)

(дисперсия была вычислена ранее – соотношение 2.2)

Таким образом,

(2.5)

и оценка оказывается смещенной, но смещение легко исправить, в результате приходим к новой оценке:

.

Оценка является несмещенной, действительно,

.