💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Определение 2.3.

Статистика называется выборочной дисперсией.

Легко видеть, что оценка является несмещенной, действительно:

.

Для доказательства состоятельности оценки может быть использована теорема Хинчина или утверждение 2.1. Заметим, что в случае использования утверждения 2.1 требуется существование дисперсий случайных величин , в то время как теорема Хинчина применима даже в тех случаях, когда у случайных величин дисперсии не существует.

В данном случае величины , , …, образуют выборку, поэтому они независимы, имеют одинаковую функцию распределения, и, следовательно, одинаковое математическое ожидание , конечность которого гарантируется исходной постановкой рассматриваемой задачи оценки. Таким образом, к совокупности случайных величин , …, при применима теорема Хинчина, и поскольку статистика есть в точности получим:

, при ,

что и означает состоятельность оценки .

Поскольку оценка является несмещенной, то состоятельность оценки может быть доказана с использованием утверждения 2.1, при условии, что дисперсия оценки конечна и стремиться к нулю с ростом . Вычислим непосредственно из определения статистики :

поскольку величины , …, образуют выборку, то согласно определению выборки они независимы в совокупности и, следовательно, попарно независимы, так что при . При , конечно, , поэтому:

(2.4)

Поскольку предполагается конечной по условию постановки исходной задачи, приведенной в начале пункта, то дисперсия конечна и монотонно стремится к нулю с ростом , поэтому в силу утверждения 2.1 оценка является состоятельной.

Исследуем свойства оценки , предварительно преобразовав статистику к следующему виду:

.

Вычислим математическое ожидание :

(поскольку , то

)

(дисперсия была вычислена ранее – соотношение 2.2)

Таким образом,

(2.5)

и оценка оказывается смещенной, но смещение легко исправить, в результате приходим к новой оценке:

.

Оценка является несмещенной, действительно,

.