Задача 4. Дано уравнение эллипса

Дано уравнение эллипса . Найти:

а) длины его полуосей;

б) координаты фокусов;

в) эксцентриситет эллипса;

г) уравнения директрис и расстояние между ними;

д) точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса равно 12.

Решение. Разделив обе части уравнения на 1176 мы получим уравнение эллипса в каноническом виде .

а) длины полуосей эллипса , , т.е. , .

б) координаты фокусов. Так как , то , . Следовательно, и . Рисунок 81

в) эксцентриситет эллипса. Так как , то .

г) уравнения директрис имеют вид и . Тогда , т.е. и ; расстояние между ними .

д) точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса равно 12. По формуле находим абсциссу точки, расстояние от которой до точки равно 12: , т.е. . Подставляя значение в уравнение эллипса, найдем ординату этой точки: , , .

Условию задачи удовлетворяет точка .