Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Теорема*. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком гипотенузы.

Пусть AD (рис.7) есть перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла А на гипотенузу ВС. Требуется доказать следующие три пропорции:

1) ^BD/_AD = ^AD/_DC ;

2) ^BC/_AB = ^AB/_BD;

3) ^BC/_AC = ^AC/_DC.

Первую пропорцию мы докажем из подобия треугольников ABD и ADC. Эти треугольники подобны, потому что

∠ 1 =∠ 4 и ∠ 2 = ∠ 3

как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Возьмём в ∆ ABD те стороны BD и AD, которые составляют первое отношение доказываемой пропорции; сходственными сторонами в ∆ ADC будут AD и DC, поэтому

BD: AD = AD: DC.

Чтобы безошибочно определить, какие стороны взятых треугольников сходственны между собой, полезно держаться такого пути:
1) указать углы, против которых лежат взятые стороны одного треугольника;
2) найти равные им углы в другом треугольнике;
3) взять противолежащие им стороны.
Например, для треугольников ABD и ADC рассуждаем так: в. треугольнике ABD стороны BD и AD лежат против углов 1 и 3; в треугольнике ADC этим углам равны 4 и 2; против них лежат стороны AD и DC. Значит, стороны AD и DC сходственны со сторонами BD и AD.

Вторую пропорцию докажем из подобия треугольников ABC и ABD. Эти треугольники подобны, потому что они прямоугольные и острый угол В у них общий. В ∆ ABC возьмём те стороны ВС и АВ, которые составляют первое отношение доказываемой пропорции; сходственными сторонами в ∆ ABD будут АВ и BD; поэтому

ВС: АВ = АВ: BD.

Третью пропорцию докажем из подобия треугольников ABC и ADC. Эти треугольники подобны, потому что они оба прямоугольные и имеют общий острый угол С.

В ∆ АВС возьмём стороны ВС и АС; сходственными сторонами в ∆ ADC будут АС и DC; поэтому

ВС: АС = AC: DC.

Следствие. Пусть А (рис.8) есть произвольная точка окружности, описанной на диаметре ВС.

Соединив концы диаметра с этой точкой, мы получим прямоугольный ∆ ABC, у которого гипотенуза есть диаметр, а катеты есть хорды (по свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр). Применяя доказанную выше теорему к этому треугольнику, приходим к следующему заключению:

Перпендикуляр, опущенный из какой-либо точки окружности на диаметр, есть средняя пропорциональная величина между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит диаметр, а хорда, соединяющая эту точку с концом диаметра, есть средняя пропорциональная между диаметром и прилежащим к хорде отрезком диаметра.

Теорема Пифагора. Доказанные выше теоремы позволяют обнаружить замечательное соотношение между сторонами любого прямоугольного треугольника. Это соотношение было впервые замечено греческим геометром Пифагором (VI в. до н. э.) и носит поэтому его имя — теорема Пифагора.