Задача 1.1

Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: а) в широком смысле, б) в узком (строгом) смысле

Решение;

Поскольку в числе 0, 856 все цифры верны в широком смысле, то его погрешность (абсолютная) не превосходит единицы разряда, соответствующего последней цифре, т.е. 0, 001. Следовательно, имеем;

Поскольку в числе 0, 07 все цифры верны в узком (строгом) смысле, то его погрешность (абсолютная) не превосходит половины единицы разряда, соответствующего последней цифре, т.е. 0, 01/2 = 0, 005. Следовательно, имеем::

Задача 1.2

Число x = 1, 1426, все цифры которого верны в широком смысле, округлить до двух значащих цифр. Для полученного результата x_округл ≈ x вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа x_округл указать количество верных цифр по абсолютной погрешности.

Решение;

Поскольку цифры числа x верны в широком смысле, то Δ _x ≤ 0, 0001. Число x мы округляем до двух значащих цифр, значит, вносим погрешность округления: Δ _округл = |x_округл − x|, где x_округл = 1, 1

С учётом этого, общая погрешность составляет

∆ = ∆ _х + ∆ _округл = 0, 0001 + |1, 1 - 1, 1426| = 0, 0427

Зная оценку абсолютной погрешности, можно получить величину относительной погрешности по формуле связи между абсолютной и относительной погрешностью:

Теперь выясним, какие цифры в числе x_округл являются верными в строгом смысле:

Цифра 1: 0, 5 > 0, 0427, значить, 1 – вірна.

Цифра 1: 0, 05 > 0, 0427, значить, 1 – вірна.

В строгом смысле в числе x_округл верны все цифры.

Аналогичной проверкой убеждаемся, что в широком смысле в числе x_округл верны все цифры тоже.