Классификация автоколебательных систем

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Любая автоколебательная система состоит из некоторого накопителя колебательной энергии (например, резонансный контур) и системы обратной связи (системы управления), которая обеспечивает подкачку энергии в систему от внешнего источника, так скажем, " в такт". По отношению накопителя к подкачке автоколебательные системы делятся на два широких класса:

1. Осцилляторные системы. В них накопитель энергии является высокодобротным контуром, а добавка энергии от внешнего источника за период колебаний много меньше, чем запас колебательной энергии системы. Это можно объяснить просто. Нам известно, что подкачка должна компенсировать потери. В установившемся режиме подкачка энергии за период в точности равна потерям. Дадим определение добротности: это отношение накопленной энергии к потерям за период. Если добротность велика, то потери за период малы в сравнении с накопленной энергией, следовательно, в осцилляторной системе и подкачка мала в сравнении с накопленной энергией. При этом, если эта подкачка является малым возбуждением, то можно ожидать, что форма колебаний в осцилляторных системах близка к синусоидальной. В этом случае амплитуда и частота колебаний определяются характеристиками системы (характеристиками накопителя) и мало зависит от системы обратной связи.

2. Релаксационные системы. Накопитель является апериодической системой, а обмен энергией накопителя с внешним источником за период колебаний сравним с запасом энергии в накопителе. Форма колебаний далека от синусоиды и сильно зависит от свойств обратной связи (например, RC мультивибратор).

В качестве знакопеременного сопротивления в автоколебательных системах могут использоваться нелинейные двухполюсники. Нелинейность может быть двух видов: N-типа и S-типа (рис. 35, 36) в зависимости от вида ВАХ нелинейного двухполюсника. Причём, как видно из ВАХ, функции двузначные, поэтому двухполюсники N-типа удобно описывать функцией, где в качестве аргумента взято напряжение, т. е. i = j(u); а S-типа описывать функцией, аргументом в которой будет ток, т. е. u = y(i).

В случае параллельного подсоединения нелинейного двухполюсника с отрицательным дифференциальным сопротивлением к параллельному контуру необходимо использовать элемент с характеристикой N-типа, показанной на рис. 35, так как общим для всех элементов такой колебательной системы является напряжение u.

Уравнение Кирхгофа для этой системы (рис. 37) имеет вид

где j' (u) = di / du - дифференциальная проводимость нелинейного элемента с падающей характеристикой, называемая также крутизной характеристики. Исследуем систему, которая описывается уравнением (6.2), на устойчивость. Для этого рассмотрим состояние равновесия u ₀. Мы приложили малую амплитуду колебаний, и смотрим, будут ли они нарастать, или будут оставаться постоянными. В этой ситуации при очень малых амплитудах колебаний мы можем положить, что j' (u)» const. Характеристическое уравнение будет иметь вид

то отсюда видно, что условие нарастания амплитуды колебаний следующее Re(p _{1, 2}) > 0. Для этого нужно, чтобы, во-первых, j' (u ₀) < 0 и, во-вторых, | j' (u)| > 1/ R.

При последовательном соединении элементов (рис. 38) общим для всех элементов является ток i. Из правил Кирхгофа по аналогии, уже продифференцировав и разделив на L, получим уравнение движения в такой системе

Проверяя на устойчивость, мы получаем условие неустойчивости колебаний относительно некоторого состояния покоя i ₀: y' (i ₀) < 0, | y' (i ₀)| > R.

Видно, что для обоих случаев первичные координаты разные (в (6.2) это напряжение u ₀, в (6.3) это ток i ₀), но на самом деле структура уравнений одна и та же, что в лишний раз подчёркивает изоморфизм процесса. Таким образом, уравнения (6.2) и (6.3) могут быть записаны в безразмерных обобщённых координатах и с безразмерным временем t = wt, где w ² = 1/(LC) в одинаковой форме

Если функция

, то это консервативная система (линейный осциллятор); если

, то система близка к консервативной (здесь функция в общем случае описывает и нелинейность и диссипацию). Соответственно, если система близка к линейной, т. е. имеет малую нелинейность и малую диссипацию, то она называется томпсоновской (автоколебательная система с одной степенью свободы и малыми нелинейностью и диссипацией). Малость диссипации определяется по сравнению с запасённой энергией, т. е. томпсоновская система - это частный случай осцилляторной системы.

Если, как обычно, положить

, то уравнение фазовых траекторий для системы (6.4):

Из физических определений известно, что если система является автоколебательной, то в ней должен существовать стационарный колебательный процесс, который на фазовой плоскости соответствует замкнутой фазовой траектории. Если автоколебания в системе устойчивы, то и замкнутая фазовая траектория также должна быть устойчива, т. е. к ней должны сходиться все фазовые траектории в близкой её окрестности. Подобные предельные фазовые траектории называют предельными циклами.

Уравнение энергетического баланса (6.1) на предельном цикле будет иметь вид

Рассмотрим простейший случай, когда диссипация определяется только скоростью: f (x, y) = f (y). Пусть существует какая-то точка равновесия x = x ₀, y = 0 (система, приведённая в точку равновесия с нулевой скоростью, в ней остаётся навсегда). В этой точке f (0) = 0. Вблизи равновесия функция f зависит только от y, тогда можно ожидать, что вблизи этой точки f (y)» f' (0) y. Для неустойчивости состояния покоя необходимо, чтобы f' (0) y < 0. В этом случае в системе происходит увеличение колебательной энергии. График - f (y) для автоколебательной системы с малыми потерями должен иметь вид, показанный на фазовой плоскости рис. 39.

В зависимости от знака f (y) вся фазовая плоскость делится на следующие области: I - инкрементная область, в которой вложение колебательной энергии превосходит потери; II - декрементные области, в которых потери превосходят вложения энергии (см. рис. 39).

Для автоколебательной системы, для которой функцию f (y) нельзя считать малой (| f (y)| ~ 1), фазовый портрет системы имеет вид, показанный на рис. 40. В такой системе колебания заметно отличаются от гармонических, процесс установления стационарных автоколебаний происходит значительно быстрее, чем в случае, показанном на рис. 39. Энергообмен в системе значительно больше, чем в системах томпсоновского типа, и выход на предельный цикл происходит примерно за период колебаний. Автоколебательная система такого типа занимает промежуточное положение между системами томпсоновского и релаксационного типов (она всё ещё осцилляторная, но уже не томпсоновская).

Если мы построим на фазовой плоскости фазовые траектории для системы, у которой функция f (y) меняется в больших пределах (| f (y)| > > 1), то получим для данного вида f (y) фазовый портрет, показанный на рис. 41. Нелинейная функция f (y) такого вида соответствует автоколебательной системе релаксационного типа. Установление стационарных колебаний в подобных системах происходит практически за доли периода колебаний.

В общем случае для всех трёх систем процесс можно описать с помощью уравнения Ван дер Поля

Здесь, естественно, f (x, y) = - e (1 - x ²) y. В томпсоновской системе e ~ 0.1, в промежуточной e ~ 1, в релаксационной e ~ 10.