💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Фазовое пространство, представление движения

Движение любой системы описано полностью, если задан закон изменения во времени всех обобщённых координат . Но, задание точи в момент времени t определяет лишь текущее положение системы, но ничего не говорит о её динамике. Через одну точку в координатном пространстве может проходить множество траекторий, которые в данной точке отличаются значениями обобщённых скоростей. Поэтому более наглядно анализировать движение в 2 ⁿ -мерном фазовом пространстве .

Выбор любой точки в фазовом пространстве (за исключением нескольких особых точек) в силу теоремы о существовании и единственности решения ДУ вида (1.26) полностью определяет дальнейшее движение системы. Кроме, может быть, особых точек, траектории в фазовом пространстве не пересекаются.

Рассмотрим автономную систему с n степенями свободы. Её ДУ, записанное в форме Коши (1.26), сведётся к виду:

, .

(1.36)

Введём новые переменные , тогда получим каноническое уравнение движения:

(1.37)

Чтобы получить фазовую траекторию, необходимо убрать время в явном виде, тогда исключим из (1.37) dt. Для этого разделим первые 2 n - 1 уравнений системы на её последнее уравнение:

(1.38)

Во всех точках фазового пространства, где однозначно определены правые части системы уравнений (1.38), угловые коэффициенты касательных dy_i / dq_n и dq_i / dq_n единственным образом определяют фазовую траекторию. Через каждую такую точку проходит одна траектория, время t играет роль параметра. Через особую точку, где не определены правые части системы уравнений (1.38), может проходить бесконечное множество траекторий, или не проходить ни одной (например, точка равновесия).

Если система неавтономна, то правые части системы уравнений (1.36) зависят ещё и от времени t, следовательно, для анализа движения нужно 2 n + 1 расширенное фазовое пространство, в котором есть ось времени.