Применение теоремы Гаусса для расчета электрических полей

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Практический интерес представляют поля, созданные длинной равномерно заряженной проволокой (цилиндром) радиусом R, бесконечной плоской пластины из металла или диэлектрика, сферической поверхности и диэлектрическим шаром.

Так как заряженные тела содержат весьма большое количество элементарных зарядов, то распределение заряда на них можно считать непрерывным. Это позволяет ввести понятие плотности электрического заряда:

где l – линейная плотность заряда, D l – элемент длины заряженной проволоки,

D q – элементарное количество заряда, приходящего на D l;

где s – поверхностная плотность заряда, D S – элемент поверхности, на котором имеется заряд D q;

где r – объемная плотность заряда, D V – элемент объема, содержащий заряд D q.

Теорема Гаусса позволяет рассчитать напряженности полей, создаваемые выше перечисленными заряженными телами.

Поле равномерно заряженной с плотностью t бесконечно длинной проволоки радиуса R (рис. 1.8). В силу симметрии линии напряженности данного поля направлены по нормалям к боковой поверхности проволоки (по радиусам) и на одинаковых расстояниях от нее напряженность поля одинакова по модулю (в противном случае равновесие зарядов на проволоке будет нарушено). Поэтому поверхность интегрирования S удобнее всего выбрать в виде коаксиального цилиндра радиусом r и высотой l, при этомпоток через основание отсутствует. Таким образом

где

– заряд, охватываемый поверхностью S. Откуда

Согласно (1. 19), поле бесконечно длинной проволоки (провода) с равномерной плотностью заряда l обратно пропорционально расстоянию от проволоки. На поверхности проволоки имеем:

Поле равномерно заряженной с плотностью s бесконечной плоскости. Из соображений симметрии, очевидно, что линии напряженности данного поля направлены перпендикулярно к плоскости. В качестве поверхности интегрирования S выберем цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями площадью DS параллельными ей (рис. 1.9). Поток поля через боковую поверхность равен нулю (линии напряженности параллельны боковой поверхности). Поток через основания цилиндрической поверхности по теореме Гаусса равен

откуда напряженность поля заряженной плоскости равна

Таким образом, поле заряженной бесконечной плоскости однородно, т.е. во всех точках поля вектор напряженности имеет одинаковое направление и одинаковую величину.

Поле двух параллельных разноименно заряженных с поверхностной плотностью s бесконечных плоскостей. Из рис. 1.10 видно, что напряженность поля слева от положительно заряженной плоскости и справа от отрицательно заряженной, в силу принципа суперпозиции, равна нулю (поле отсутствует). Поле в пространстве между плоскостями равно

где Е ₊и Е _- – напряженности полей, создаваемые положительно и отрицательно заряженными плоскостями, или

Таким образом, поле между плоскостями является однородным.

Поле заряженной с поверхностной плотностью s сферы радиуса R.

Поле заряженной сферической поверхности обладает центральной симметрией, т.е. направление вектора Е совпадает с направлением радиуса r (рис. 1.11). Согласно теореме Гаусса, напряженность поля внутри сферы Е=0, так как внутри сферы нет зарядов. Для расчета поля вне сферы в качестве поверхности интегрирования выберем коаксиальную сферическую поверхность S радиуса r > R. По теореме (1. 15) имеем

. Откуда