Электрическое смещение. Теорема Гаусса для диэлектриков

Рассмотрим однородный и изотропный диэлектрик в электрическом поле Е0, созданным свободными электрическими зарядами q, и поставим задачу рассчитать электрическое поле Е в диэлектрике, например, в произвольной точке А (рис. 2.8). Воспользуемся теоремой Гаусса:

или

, (2. 7)

где (q +q/) – алгебраическая сумма свободных и поляризационных зарядов, охватываемых поверхностью S.

Величина поляризационных зарядов q/ заранее не известна, поэтому в уравнение (2. 7) их надо исключить. Для этого сложим уравнения (2. 6) и (2. 7), и получим

,

или

, (2. 8)

где

. (2. 9)

Вектор D называется вектор электрического смещения или вектор электрической индукции. Воспользуемся уравнением (2. 2) для Р и получим, что

, (2. 10)

где коэффициент называется диэлектрической проницаемостью среды.

Величина e > 1 и определяется теми же физическими параметрами, что и диэлектрическая восприимчивость c.

Уравнение (2. 8) выражает теорему Гаусса для диэлектриков: поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью. Если распределение свободных зарядов внутри этой поверхности характеризуется объемной плотностью r, то уравнение (2. 8) можно записать так

. (2. 11)

Таким образом, для решения задачи, поставленной в начале данного параграфа, можно воспользоваться теоремой Гаусса (2. 8 или 2. 11) и определить численное значение вектора D. Затем, зная диэлектрическую проницаемость, из уравнения (2. 10) рассчитать величину напряженности Е в данной точке диэлектрика.В частном случае (рис. 2.9), когда пространство между заряженными бесконечными параллельными металлическими пластинами полностью заполнено однородным изотропным диэлектриком, имеет место соотношение

,

т. е. вектор D с точностью до ε ₀ совпадает с электрическим полем Е ₀, созданным распределением свободных зарядов с плотностью s на данных плоскостях в отсутствии диэлектрика между ними. Соотношение имеет место для бесконечных, однородных и изотропных диэлектриков. В общем случае (рис. 2.10), когда границы диэлектрика не параллельны заряженным плоскостям, вектор D не параллелен Е ₀.

Поле вектора D можно графически изобразить линиями электрического смещения, которые определяются аналогично линиям напряженности электрического поля.