Приклад 5

Обчислити індукцію магнітного поля на осі соленоїда, якщо кількість витків на одиницю його довжини , а сила струму у витках .

Дано:

Рисунок 35

Розв’язування

Соленоїдом називають сукупність спірально намотаних на циліндричну поверхню витків ізольованого провідника, по якому проходить електричний струм. Як правило, вважають, що провідник намотаний в один шар щільно, рівномірно і кількість витків обмотки на одиницю довжини циліндричної поверхні є величина сталою і дорівнює . Нехтуючи зазором між витками при щільній упаковці, їх можна вважати, що , де – загальна кількість витків соленоїда, а – його довжина. У такому разі соленоїд можна вважати сукупністю кілець зі струмом і тоді для обчислення індукції магнітного поля в довільній точці його осі можна скористатися формулою – індукція магнітного поля на осі колового струму.

Якщо довжина соленоїда більше ніж у 10 разів перевищує діаметр його витків , то такий соленоїд називають нормальним (нехтують крайовими ефектами). Особливістю такого соленоїда є те, що всередині його вздовж осі магнітне поле має однаковий напрям і однакове в усіх точках значення, тобто є однорідним.

Розрахуємо індукцію магнітного поля, наприклад у точці О осі нормального соленоїда (див. рис. 35). Для цього виділимо спочатку вузьку (плоску) смугу витків соленоїда завтовшки , розміщену між проведеними з точки О радіусами , які утворюють з віссю соленоїда кути і . Довжина цієї смуги . Кількість витків , що укладаються на виділеній смузі:

.

Елементарна індукція магнітного поля , створювана в точці О витками провідника зі струмом І, за формулою буде такою:

.

Оскільки , а , то:

.

Щоб знайти результуюче значення індукції магнітного поля в точці О, проінтегруємо останню формулу у межах кутів і :

.

Для нескінченно довгого соленоїда і . Тоді:

.

Для довільної основи соленоїда (наприклад, у центрі верхньої основи і )

,

Тобто у два рази менша, ніж на осі всередині соленоїда.

Для нашої умови задачі після підстановки числових значень отримаємо:

а) в центрі соленоїда:

;

б) в центрі верхньої основи:

.

Відповідь: , .