Задачі для самостійного розв’язування

2.1. Під дією деякої сили тіло масою здійснює прямолінійний рух, описуваний рівнянням . Чому дорівнює діюча на тіло сила в момент часу t = 5 с? Побудувати графік.

2.2. Вагон масою 10⁴ кг відчепився від рухомого локомотиву і, рухаючись рівносповільнено, за 20 с пройшов шлях 20 м, після чого зупинився. Знайти силу тертя, коефіцієнт тертя і початкову швидкість вагону.

2.3. Якої маси баласт потрібно скинути з аеростату, який рівномірно опускається, щоб він почав рівномірно підніматися з тією ж швидкістю? Маса аеростата з баластом 1600 кг, піднімальна сила аеростата 12, 00 кН. Вважати силу опору повітря однією і тією ж при підніманні і при опусканні.

2.4. До нитки підвішений вантаж масою 1, 000 кг. Знайти силу натягу нитки Т, якщо нитка з вантажем: 1) піднімається з прискоренням 5, 00 м/с²; 2) опускається з тим же прискоренням.

2.5. Сталевий дріт витримує силу натягу 4, 40 кН. З яким найбільшим прискоренням можна піднімати вантаж масою 400 кг, підвішений на цьому дроті, щоб дріт не розірвався?

2.6. Маса ліфта з пасажиром т= 800 кг. З яким прискоренням ів якому напрямі рухається ліфт, якщо відомо, що сила натягу троса, що підтримує ліфт: а)12, 0 кН; б) 6, 0 кН?

2.7. До нитки підвішена гиря. Якщо піднімати гирю з прискоренням а= 2, 00 м/с², то сила натягу нитки Т ₁ її буде вдвічі менша тієї сили натягу Т ₂, при якій нитка розривається. З яким прискоренням а ₂ треба піднімати гирю, щоб нитка розірвалася?

2.8. Потяг, маса якого т = 500 т, після припинення дії сили тяги тепловоза зупиняється під дією сили тертя F = 10⁵ Н через 1 хв. З якою швидкістю йшов поїзд до моменту припинення дії сили тяги тепловоза?

2.9. Потяг на горизонтальному відрізку шляху довжиною 600 м розвиває сталу силу тяги F = 14, 7·10⁴ Н. Швидкість потягу зростає при цьому від 36 км/год до 54 км/год. Визначити силу опору руху, вважаючи її сталою. Маса поїзда т = 1000 т.

2.10. З якою силою треба діяти на тіло масою т = 5 кг, щоб воно падало вертикально вниз з прискоренням а = 15 м/с²?

2.11. Автомобіль рухається з прискоренням а = 1м/с². З якою силою людина масою т = 70 кг натискає на спинку сидіння?

2.12. Стальна дротина витримує вантаж, маса якого до 450 кг. З яким найбільшим прискоренням можна піднімати вантаж т = 400 кг, підвішений на ційдротині, щоб вона не обірвалася?

2.13. Мотузка витримує вантаж масою т ₁=110 кг при піднятті його з деяким прискоренням вертикально і вантаж масою т ₂ = 690 кг при опусканні його з таким самим за величиною прискоренням. Яка максимальна маса т вантажу, що його можна підняти на цій мотузці зі сталою швидкістю?

2.14. Автомобіль рухається нагору зі швидкістю . Визначити шлях, пройдений автомобілем до зупинки, і час його руху, якщо коефіцієнт тертя μ =05, а кут нахилу .

2.15. Визначити коефіцієнт тертя між похилою площиною і тілом, що рухається по ній, якщо відомо, що це тіло, маючи початкову швидкість і рухаючись нагору по похилій площині, проходить шлях . Кут нахилу площини .

2.16. Тіло, якому надана початкова швидкість, паралельна похилій площині, піднімається по похилій площині і потім опускається. У якому випадку при підніманні чи опусканні і в скільки раз час руху тіла більший, якщо воно повернулося в початкове положення? Чи буде кінцева швидкість при опусканні дорівнювати початковій швидкості при підніманні? Коефіцієнт тертя з похилою площиною μ = 0.20. Кут нахилу площини .

2.17. Чому дорівнює коефіцієнт тертя коліс автомобіля об дорогу, якщо при швидкості автомобіля гальмівний шлях дорівнює ?

2.18. На візку масою т ₁ = 20 кг лежить вантаж масою т ₂ = 5, 0 кг. До вантажу прикладена сила F, що надає візку з вантажем прискорення а. Сила дієпід кутом 30° до горизонту. Яке максимальне значення цієї сили, при якому вантаж не буде сковзати на візку? Коефіцієнт тертя між вантажем і візком μ =0, 20. Тертям між візком і дорогою знехтувати. 3 яким прискоренням буде рухатися візок під дією сили F.

2.19. Однорідний стержень довжиною L = 5, 0 м піднімається вертикально нагору під дією сили F = 500 Н, прикладеної до одного з його кінців. 3 якою силою розтягується стержень у точці, що знаходиться на відстані l = 1, 0 м від його нижнього кінця?

2.20. Тіло масою т лежить на похилій площині з кутом нахилу а =30°. Який шлях пройде тіло на похилій площині за t = 1, 0 с, якщо похилій
площині надати прискорення а = 3, 8 м/с², спрямоване вертикально вниз? Коефіцієнт тертя вважати рівним μ = 0, 20.

2.21. Два вантажі масами т ₁ = 4, 0 кг і т ₂ = 1, 0 кг зв’язані ниткою, перекинутою через блок, що прикріплений до призми, іможуть сковзати на гранях цієї призми. Знайти прискорення вантажів, якщо α = 60°, β = 30°, а коефіцієнт тертя μ = 0, 20. Дослідити можливі випадки.

2.22. Яке найбільше прискорення може мати автомобіль при русі нагору з кутом нахилу а = 20°, якщо коефіцієнт тертя коліс об покриття дороги μ = 0, 5. Який шлях пройде автомобіль за t = 10 с, якщо в момент початку підйому швидкість його ?

2.23. На горизонтальній поверхні лежить тіло масою 5, 0 кг. Який шлях пройде це тіло за час t = 1, 0 с, якщо до нього прикласти силу F = 50 Н, що утворить кут з горизонтом? Коефіцієнт тертя між тілом і поверхнею μ = 0, 20.

2.24. З яким прискоренням буде рухатися тіло масою т = 2, 0 кг у горизонтальному напрямі, якщо до нього прикладена сила F = 5, 0 Н, направлена під кутом до горизонту? Коефіцієнт тертя μ = 0, 10.

2.25. До стелі кабіни ліфта прикріпленийдинамометр, на якому підвішений блок. Через блок перекинуто нерозтяжний шнур, до кінців якого прив'язані вантажі масами т ₁ = 1, 0 кг і т ₂ = 2, 0 кг. Які будуть покази динамометра при русі вантажів, якщо ліфт нерухомий чи рухається нагору з прискоренням 3, 0 м/с² ? Масою блока ішнура знехтувати.

2.26. Бак з водою знаходиться на похилій площині з кутом нахилу
. 3 яким спрямованим горизонтально прискоренням повинна рухатися похила площина, щоб поверхня води в баці була паралельна їй?

2.27. Яку силу треба прикласти до вагона, що стоїть на рейках, щоб вагон почав рухатися рівноприскорено і за час t = 30, 0 с пройшов шлях ? Маса вагона . Під час руху на вагон діє сила тертя, рівна 0, 05 діючої на нього ваги Р.

2.28. Потяг масою після припинення тяги паровоза під дією сили тертя 98 кН зупиняється через час . 3 якою швидкістю йшов потяг?

2.29. Вагон масою рухається рівносповільнено, маючи початкову швидкість 54 км/год і прискорення . Яка сила гальмування діє на вагон? Через який час вагон зупиниться? Яку відстань вагон пройде до зупинки?

2.30. Тіло масою 0, 5 кг рухається прямолінійно, причому залежність пройденого тілом шляху від часу t задається рівнянням , де і . Знайти величину сили, що діє на тіло наприкінці першої секунди руху.

2.31. Під дією постійної сили 10 Н тіло рухається прямолінійно так, що залежність пройденого тілом шляху S від часу t задається рівнянням , де . Знайти масу тіла.

2.32. Тіло масою 0, 5 кг рухається так, що залежність пройденого тілом шляху від часу t задається рівнянням , де і . Знайти силу F, що діє на тіло через час t=1/6 с після початку руху.

2.33. На візку, що рухається в горизонтальному напрямі з прискоренням , установлений схил. Знайти натяг нитки схилу і кут, що утворить нитка з вертикаллю, якщо маса підвішеного на нитці вантажу .

2.34. Через нерухомий блок перекинута тонка нерозтяжна нитка, на кінцях якої підвішені вантажі масами і . У початковий момент часу обидва вантажі знаходилися на одній висоті. Визначити на яку відстань зміститься центр мас вантажів через t = 1с від початку руху. Вважати, що тертя відсутнє, а масами блоку і нитки можна знехтувати. Знайти прискорення центра мас вантажів.

2.35. На яку відстань зміститься нерухомий на воді човен, якщо людина масою пройде з носа човна на корму? Довжина човна 2, 5 м, його маса . Опором води знехтувати.

2.36. Куля котиться без ковзання по горизонтальній поверхні. Повна кінетична енергія К кулі дорівнює 14 Дж. Визначити кінетичну енергію К₁ поступального і К₂ обертального руху кулі.

2.37. Визначити момент інерції J тонкого однорідного стрижня довжиною l = 30 см і масою m = 100 г відносно осі, перпендикулярної до стрижня, яка проходить через: а) його кінець, б) його середину; в) точку, що віддалена від кінця стрижня на 1/3 його довжини.

2.38. Горизонтально розташований диск обертається навколо вертикальної осі, що проходить через його центр. На диску лежать вантаж на відстані R=10 см від осі обертання. Знайти коефіцієнт тертя спокою між диском і вантажем, якщо при частоті обертання диску вантаж починає ковзати на поверхні диска.

2.39. Визначити максимальне значення швидкості, з якою автомобіль може рухатися на заокругленню асфальтованого шосе радіусом R = 100 м, якщо коефіцієнт тертя між шинами автомобіля з асфальтом μ = 0, 60.

2.40. При якій швидкості автомобіля тиск, що робиться ним на вгнутий міст, у 2 рази більший тиску на випуклий міст? Радіус кривизни мостів в обох випадках R = 30 м.

2.41. Визначити період обертання конічного маятника, якщо його довжина l = 49 см, а кут утворений ниткою з вертикаллю, а = 60°.

2.42. Тіло масою т = 200 г підвішено на нитці довжиною l = 80 см. Його відхилили від положення рівноваги до висоти точки підвісу і відпустили, у результаті чого нитка обірвалася. На якій висоті знаходилося тіло в момент розриву нитки, якщо вона розривається під дією сили F = 4, 0 Н?

2.43. Посудина з водою, підвішена на мотузці довжиною l = 1 м, обертається у вертикальній площині так, що вода з неї не виливається. Визначити максимальне значення періоду обертання.

2.44. Амплітуда гармонічного коливання дорівнює 5, 0 см, період 4, 0 с. Визначити максимальні швидкість і прискорення коливної точки, якщо в початковий момент часу точка знаходилася в положенні максимального зміщення. Через який час від початку руху точка, що робить гармонічні коливання з періодом 12 с і початковою фазою, рівною 0, зміститься від положення рівноваги на відстань, що дорівнює половині амплітуди?

2.45. Написати рівняння коливального руху матеріальної точки, що робить коливання з амплітудою 5 см, періодом2 с і початковою фазою 45°.

2.46. Коливання матеріальної точки описуються рівнянням . Визначити найбільше значення швидкості і прискорення. Чому дорівнює фаза коливань через час від початку руху?

2.47. Визначити початкову фазу гармонічного коливання тіла, якщо через 0.25 с від початку руху зміщення, що змінюється за законом синуса, було
рівне половині амплітуди. Період коливання 6, 0 с.

2.48. Вважаючи рух поршня в циліндрі автомобільного двигуна гармонічним коливанням, визначити максимальне значення його швидкості і прискорення, якщо автомобіль рухається зі швидкістю на прямій передачі, радіус коліс R = 344 мм, хід поршня 1 = 100 мм.

2.49. Написати рівняння коливального руху матеріальної точки, що робить два однаково спрямованих гармонічних коливання, які описуються рівняннями: , .

2.50. Яка частота зміни амплітуди складного коливання, отриманого в результаті додавання двох однаково спрямованих гармонічних коливань з частотами 440 і 440, 5 Гц?

2.51. Знайти рівняння траєкторій руху матеріальної точки, що бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, заданих рівняннями: і . Указати напрям руху.

2.52. Скласти графічно два взаємно перпендикулярних коливання з однаковими амплітудами i фазами, періоди яких відповідно piвнi 1 і 2 с.

2.53. Знайти роботу, що виконується при підніманні вантажу масою т = 10 кг на похилій площині з кутом нахилу на відстані , якщо час піднімання t=2, 0 с, а коефіцієнт тертя μ = 0, 10.

2.54. Парашутист масою т = 70 кг робить затяжний стрибок i через t = 14 с має швидкість . Вважаючи рух парашутиста рівноприскореним, знайти роботу з подолання опору повітря.

2.55. Яку потужність повинен розвивати трактор при переміщенні причепа масою нагору зі швидкістю , якщо кут нахилу , а коефіцієнт тертя причепа μ = 0, 20?

2.56. Тіло масою т = 1, 0 кг кинули з поверхні Землі під кутом до обрію з початковою швидкістю . Знайти потужність сили тяжіння в момент часу t = 5, 0 с. Чому дорівнює робота цієї сили за час t = 5, 0 с? Опором повітря знехтувати.

2.57. Яку роботу виконують двигуни електропотягу на шляху 100 м при розгоні з прискоренням 1, 5 м/с² нагору з кутом нахилу 10°, якщо маса електропотягу , а коефіцієнт тертя 0, 05?

2.58. Визначити потужність двигуна шахтної кабіни, що піднімає ізшахти глибиною 200 м вантаж масою за 60 с, якщо ККД дорівнює 80%.

2.59. Потяг масою піднімається нагору з кутом нахилу з швидкістю 15 м/с i проходить шлях 2, 0 км. Визначити роботу i середню потужність, що розвивається тепловозом при pyci потягу. Коефіцієнт тертя 0, 05.

2.60. Кінетична енергія маховика, що обертається навколо нерухомої осі з постійною швидкістю, яка відповідає частоті n = 5 об/с, дорівнює W_k = 60 Дж. Знайти момент імпульсу маховика.

2.61. Яку роботу необхідно виконати, щоб телеграфний стовп масою 200 кг, до вершини якого прикріплена хрестовина масою 70, 0 кг, перевести з горизонтального положення у вертикальне? Довжина стовпа 10, 0 м.

2.62. Один раз камінь кидають зі швидкістю на горизонтальній поверхні льоду, а другий раз зі швидкістю у повітря під кутом 45° до горизонту. У якому випадку каменю надано більшу початкову швидкість i в скільки разів, якщо в обох випадках переміщення каменя однакове? Коефіцієнт тертя каменя об лід прийняти рівним 0, 02. Oпip повітря не враховувати.

2.63. Тіло масою 2, 0 кг під дією сили 50 Н піднімається на похилій площині з кутом нахилу 30° на висоту 1, 0 м. Коефіцієнт тертя тіла об похилу площину 0, 20. Визначити значення зробленої роботи. На що піде ця робота?

2.64. На тонкій нитці довжиною 0, 50 м підвішений пружинний пістолет так, що ствол розташований горизонтально. На який кут відхилиться нитка після пострілу, якщо куля масою т = 20 г при вильоті зі ствола має швидкість ? Маса пістолета М = 200 г.

2.65. Визначити потужність водоспаду, якщо його висота h = 50 м, а середньорічна витрата води Q = 5900 м³/с.

2.66. Яку кінетичну енергію має тіло масою 2, 0 кг, якщо воно піднялося на похилій площині з кутом нахилу 30° на висоту 1, 0 м? Коефіцієнт тертя між тілом і похилою площиною 0, 10.

2.67. Куля масою m вдаряється об балістичний маятник масою М і застряє в ньому. Яка частина кінетичної енергії кулі перейде в теплоту?

2.68. Дві кулі масами т ₁ = 0, 20 кг і т ₂ = 0, 80 кг, підвішені на двох паралельних нитках довжиною 2, 0 м, дотикаються одна до одної. Менша куля відхиляється на 90° від початкового положення і відпускається. 1) Знайти швидкості куль після зіткнення, вважаючи удар абсолютно пружним. 2) Яка швидкість куль після зіткнення, якщо удар абсолютно
непружний? Яка частина енергії піде на нагрівання куль?

2.69. Яка енергія пішла на деформацію двох куль, що зіткнулися, масами , якщо вони рухалися назустріч одна одній зі швидкостями і , а удар був прямий непружний?

2.70. Дві кулі підвішені на тонких паралельних нитках, дотикаються одна до одної. Менша куля відхиляється на 90° від початкового положення і відпускається. Після удару кулі піднімаються на однакову висоту. Визначити масу меншої кулі, якщо маса більшої 0, 6 кг, а удар абсолютно пружний.

2.71. Кулька масою m, що рухається горизонтально, вдаряється у поверхню призми масою М так, що відскакує вертикально вгору на висоту h. Вважаючи удар абсолютно пружним, визначити швидкість, отриману призмою в результаті удару. Тертям призми знехтувати.

2.72. Молоток масою 0, 80 кг у момент удару об головку цвяха має швидкість 1, 5 м/с і забиває його в колоду на глибину 5, 0 мм. Якої маси вантаж необхідно покласти на головку цвяха, щоб він ввійшов у колоду на таку ж глибину?

2.73. Знайти миттєву потужність, що розвивається силою тяжіння, до кінця першої секунди падіння тіла масою 1, 0 кг. Опір повітря не враховувати.

2.74. Кулька для гри в настільний теніс радіусом г = 15 мм і масою m = 5, 0 г занурена у воду на глибину . Коли кульку відпустили, вона вистрибує з води на висоту Н = 10 см. Яка кількість теплоти виділилася внаслідок тертя кульки об воду?

2.75. Тіло ковзає на похилій площині, що утворює з горизонтом кут 45°. залежність пройденого тілом шляху s від часу t задається рівнянням , де С=1, 73 м/с². Знайти коефіцієнт тертя тіла об площину.

2.76. Вантаж масою т = 5, 0 кг піднімається похилою площиною з кутом нахилу під дією сили F = 40 Н, що утворює кут β = 30° з напрямом переміщення. На яку відстань зміститься вантаж уздовж похилої площини до моменту, коли його швидкість , якщо початкова швидкість вантажу дорівнює нулю і коефіцієнт тертя μ = 0, 10?

2.77. М’яч кинули вертикально вгору. Що більше: час підйому чи час падіння?

2.78. 3 вишки кидають велику надувну кулю так, що один раз їй надають початкову швидкість, спрямовану вертикально вгору, а інший раз таку ж швидкість, але спрямовану вертикально вниз. У якому випадку в момент удару кулі об землю її вертикальна швидкість буде більшою?

2.79. Вантаж масою m піднімається на висоту h. Чи залежить при цьому робота, що виконується піднімальним механізмом, від швидкості підйому? Чому?

2.80. Брусок масою т і довжиною l лежить на горизонтальній поверхні столу. Яку роботу треба виконати, щоб повернути брусок навколо центру мас у горизонтальній площині на малий кут α, якщо коефіцієнт тертя бруска об стіл μ.

2.81. При вибуху гранати, що летить зі швидкістю 8, 0 м/с, утворилися два осколки. Осколок, маса якого складала 0, 3 маси гранати, продовжив рухатись в тому ж напрямі зі швидкістю 30 м/с. Визначити швидкість другого осколка.

2.82. М’яч масою 150 г, що рухається зі швидкістю 6 м/с, вдаряється об стінку так, що кут між векторами швидкості до удару і після удару дорівнює 60°. Вважаючи удар пружним, визначити його тривалість, якщо відомо, що середня сила удару 20 Н.

2.83. Із труби перерізом S = 5, 0 см² горизонтальний струмінь води б’є зі швидкістю у вертикальну стінку вагонетки, що стоїть на рейках, і вільно стікає зі стінки вниз. З яким прискоренням буде рухатися вагонетка, якщо її маса т = 200 кг, а напрям струменя води паралельний рейкам? Опір руху вагонетки прийняти рівним її ваги.

2.84. Знайти початкову швидкість хокейної шайби, якщо вона до удару об бортик пройшла шлях S = 5, 0 м, а після удару, який можна вважати абсолютно пружним, пройшла ще деякий шлях і через t = 2, 0 с зупинилася. Коефіцієнт тертя шайби об лід 0, 10.

2.85. На підніжку вагонетки, що рухається прямолінійно зі швидкістю 2, 0 м/с, стрибає людина масою т ₂ = 60 кг у напрямі, перпендикулярному до ходу вагонетки. Маса вагонетки т ₁ = 240 кг. Визначити швидкість вагонетки разом із людиною.

2.86. З гармати масою зроблений постріл у горизонтальному напрямі. Маса снаряда 54 кг. Швидкість снаряда відносно Землі . Визначити швидкість вільного відкоту гармати в момент вильоту снаряда.

2.87. На платформі встановлена гармата, з якої зроблено постріл уздовж колії під кутом 45° до горизонту. Визначити початкову швидкість снаряда, якщо відомо, що після пострілу платформа відкотилася на відстань 3, 0 м. Маса платформи з гарматою , маса снаряда т = 10 кг, коефіцієнт тертя кочення між колісьми платформи і рейками μ = 0, 002.

2.88. Граната кинута під кутом 45° до горизонту зі швидкістю . Через 2, 0 с після моменту кидання граната розривається на два осколки, маси яких відносяться як 1: 2. Менший осколок у результаті вибуху одержав додаткову швидкість , спрямовану горизонтально уздовж напряму кидання гранати. Визначити дальність польоту більшого осколка, якщо відомо, що менший осколок упав на відстань . Опір повітря не враховувати.

2.89. Три човни кожний масою М = 250 кг йдуть один за одним зі швидкістю . З другого човна одночасно в перший і третій кидають вантажі масами т = 20 кг кожний зі швидкістю відносно середнього човна. Визначити швидкості човнів після перекидання вантажів.

2.90. Два човни масою М = 100 кг кожний йдуть паралельним курсом назустріч один одному з однаковою швидкістю 5, 0 м/с. Коли човни зустрічаються, з першого в другий перекидають вантаж масою т = 25 кг, а потім із другого човна в перший перекидають такий же вантаж. В інший
раз вантажі перекидають з човна в човен одночасно. Визначити швидкості
човнів в обох випадках.

2.91. Кувалда масою 20 кг піднята на висоту h = l, 2 м і вільно падає на ковадло. Яка середня сила удару кувалди об ковадло, якщо удар непружний, а тривалість удару 0, 005 с?

2.92. До матеріальної точки, положення якої визначається радіусом-вектором , прикладена сила . Визначити момент сили відносно початку координат, модуль вектора і момент сили , відносно осі Z.

2.93. Тіло масою т = 100 г кинуто під кутом 45° до горизонту з початковою швидкістю . Знайти модуль моменту імпульсу тіла відносно точки кидання в момент перебування його в найвищій точці траєкторії. Опір повітря не враховувати.

2.94. Довести, що при русі тіла під дією центральної сили момент імпульсу тіла відносно точки, яка є полюсом поля, є величина постійна.

2.95. Показати, що планети, які рухаються під дією центральних сил, мають плоску траєкторію. Силою опору руху знехтувати.

2.96. На гладкій горизонтальній площині лежить однорідний стрижень довжиною l = 0, 50 м і масою . На площині сковзає кулька масою зі швидкістю , спрямованою перпендикулярно стрижню. Кулька вдаряється об стрижень і зупиняється. Точка удару знаходиться на відстані l ₁ = 20 см від середини стрижня. Діаметр кульки дорівнює діаметру стрижня. Визначити поступальну швидкість стрижня після удару і кутову швидкість відносно його центра мас.

2.97. Довести, що людина, яка стоїть на ідеально гладкій горизонтальній площині, може повернутися навколо вертикальної осі, якщо вона почне обертати руку над головою.

2.98. Показати, що другий закон Кеплера (радіус-вектор, проведений від Сонця до планети, в рівний час описує рівні площі) є наслідком закону збереження моменту імпульсу.

2.99. Тіло масою m кинуто під кутом а до горизонту зі швидкістю .Знайти залежність від часу модуля моменту імпульсу тіла відносно точки кидання. Опором повітря знехтувати.

2.100. Із точки з координатами (0, 3, 0) (м) вертикально вгору кинули тіло масою т = 0, 5 кг зі швидкістю . Знайти збільшення імпульсу тіла відносно початку координат за час його польоту вгору і назад в початкову точку. Опором повітря знехтувати. Вісь спрямована вгору.

2.101. Визначити момент інерції кулі відносно осі, що збігається з дотичною до його поверхні. Радіус кулі 0, 1 м, її маса 5 кг.

2.102. Чому дорівнює момент інерції тонкого прямого стрижня довжиною 0, 5 м і масою 0, 2 кг відносно осі, перпендикулярної до його довжини, приходить через точку стрижня, яка віддалена на 0, 15 м від одного з його кінців?

2.103. Визначити момент інерції Землі відносно осі обертання, прийнявши її за кулю радіусом 6, 4 Мм і масою кг.

2.104. На барабан радіусом R = 10 см намотана нитка, до кінця, якої прив'язаний вантаж масою т = 0, 50 кг. Знайти момент інерції барабана, якщо вантаж опускається з прискоренням а = 1, 0 м/с².

2.105. Маховик, що представляє собою диск масою т = 10 кг і радіусом R = 10 см, вільно обертається навколо осі, що проходить через центр, із круговою частотою 6 с^-1. При гальмуванні маховик зупиняється через t = 5 с. Визначити гальмівний момент.

2.106. Через блок, маса якого т = 100 г, перекинута тонка гнучка нерозтяжна нитка, до кінців якої підвішені два вантажі масами т ₁ = 200 кг і т ₂ = 300 кг (див. рис. 7). Вантажі утримуються в нерухомому положенні. З яким прискоренням будуть рухатися вантажі, якщо їх відпустити? Чому дорівнює кутове прискорення блока, якщо його радіус 10 см? Тертям знехтувати.

Рисунок 7

2.107. З колодязя за допомогою ворота піднімалося відро з водою т = 10 кг. У момент, коли відро знаходилося на висоті h = 5, 0 м від води, рукоятка звільнилася, і відро стало рухатися вниз. Визначити лінійну швидкість рукоятки в момент удару відра об поверхню води в колодязі, якщо радіус рукоятки r = 30 см, радіус вала ворота R = 10 см, його маса т ₁ = 20 кг. Тертям і масою троса, на якому підвішено відро, знехтувати.

2.108. Маховик масою m₁ = 1, 0 кг укріплений на шківі радіусом R = 5, 0 см і масою т₂ = 200 кг, приводиться в обертання за допомогою гирі, що опускається, масою т ₃ = 500 г, прив'язаної до кінця намотаної на шків мотузки. Через який час швидкість маховика досягне п = 5, 0 об/с? Вважати, що вся маса маховика розподілена на його ободу на відстані R = 40 см від осі обертання.

2.109. До кінця тонкої нерозтяжної нитки, намотаної на циліндричний суцільний нерухомий блок масою т ₁ = 200 г, прикріплене тіло масою т ₂ = 500 г, що знаходиться на похилій площині з кутом нахилу (див. рис. 8). Нитка, що утримує тіло, паралельна похилій площині. Який шлях пройде тіло на похилій площині за t = 1, 0 c, якщо коефіцієнт тертя ковзання на похилій площині μ = 0, 10? Тертям у блоці знехтувати.

2.110. Який шлях пройде диск, що котиться без ковзання, піднімаючись нагору на похилій площині з кутом нахилу а = 30°, якщо йому надана початкова швидкість 7, 0 м/с, паралельна похилій площині?

Рисунок 8

2.111. Куля скочується на похилій площині з кутом нахилу . Яку швидкість буде мати центр кулі відносно похилої площини через 1, 5 с, якщо її початкова швидкість була рівна нулю?

2.112. На горизонтальній обертовій платформі на відстані R = 50 см від її вертикальної осі обертання лежить вантаж. Коефіцієнт тертя між вантажем і платформою k = 0, 05. При якій кількості її обертів за секунду вантаж почне ковзати?

2.113. На краю горизонтальної платформи радіусом R = l м, яка обертається, лежить вантаж. Коефіцієнт тертя між вантажем і платформою k = 0, 05. В який момент часу t після початку обертання платформи вантаж зісковзне з неї, якщо її обертання рівноприскорене і в момент часу t = 2 хв вона має кутову швидкість ω = 1, 4 рад/с?

2.114. Яким має бути мінімальний коефіцієнт тертя k між шинами автомобіля і асфальтом, щоб автомобіль міг пройти без ковзання заокруглення ра д іусом R = 100 м при швидкості ?

2.115. Тіло масою т = 200 г рівномірно обертається в горизонтальній площині по колу радіусом R = 0, 5 м і робить п₁ = 3 оберти за секунду. Яку роботу А треба виконати, щоб збільшити кількість обертів до п ₂ = 5 обертів за секунду?

2.116. Барабан сушильної машини діаметром D = 1, 96 м обертається з кутовою швидкістю ω = 20 рад/с. Визначити, у скільки разів сила F, з якою тканина притискується до стінки, більша від сили тяжіння Р.

2.117. Літак робить „мертву петлю” радіусом R = 255 м. Яку найменшу швидкість повинен мати літак у верхній точці петлі, щоб пілот не повиснув на ремінцях, якими він пристебнутий до пілотського крісла?

2.118. З яким максимальним періодом Т можна рівномірно обертати у вертикальній площині кульку, прив'язану до нитки довжиною l = 2, 45 м?

2.119. Невагомий стрижень рівномірно обертається в горизонтальній площині і робить п обертів за секунду. На відстанях l₁ і l₂ від осі обертання закріплені вантажі з масами т ₁ і т ₂. Яка горизонтальна сила Р діє на вісь обертання, якщо вісь знаходиться між вантажами?

2.120. Автомобіль масою m = 1000 кг рухається на опуклому мосту, що має радіус кривизни R = 50 м, з швидкістю . З якою силою F тисне автомобіль на середину моста? З якою найменшою швидкістю повинен рухатись автомобіль, щоб у верхній точці він перестав тиснути на міст?

2.121. Автомобіль масою рухається зі швидкістю на вгнутому мосту. Радіус кривизни моста R = 100 м. З якою силою F тисне автомобіль на міст, проїжджаючи його середину?

2.122. Автомобіль масою т рухається опуклим мостом, радіус кривизни якого R, зі швидкістю . 3 якою силою Р тисне автомобіль на міст у точці, напрям на яку з центра кривизни мосту утворює з напрямом на вершину мосту кут а?

2.123. Через річку шириною d = 100 м перекинуто опуклий міст, що має форму дуги кола. Найвища точка моста піднімається над берегом на Н = 10 м. Максимальне навантаження, яке може витримати міст F = 44 100 Н. Через міст треба пройти вантажному автомобілю масою т = 5000 кг. При яких швидкостях руху це неможливо?

2.124. Людина масою т = 70 кг сидить на середині трапеції. Палицю трапеції підвішено на мотузках довжиною 1 = 8 м. Під час гойдання людина проходить положення рівноваги зі швидкістю 6 м/с. Який натяг Т кожної мотузки в цей момент?

2.125. Кульку масою т підвішену на нитці, відхилили від положення рівноваги на кут і відпустили. Якою має бути міцність нитки, щоб кулька під час руху не обірвала її?

2.126. Вантаж масою m = 20 г прикріплено до кінця невагомого стержня довжиною , який рівномірно обертається у вертикальній площині навколо іншого кінця, роблячи 10 обертів за секунду. Чому дорівнює натяг стержня, коли тягарець проходить верхню і нижню точки своєї траєкторії?

2.127. Тіло масою m обертається у вертикальній площині на жорсткій невагомій штанзі. Знайти різницю сил натягу штанги у двох випадках: а) швидкість обертання стала; б) швидкість обертання не стала, її зміна зумовлюється силою тяжіння.

2.128. Яку потужність повинен розвинути двигун, що приводить у рух стабілізуючий гіроскоп, який має форму диска радіусом R = 1, 0 м і масою т = 1000 кг, якщо протягом t = l хв кутова швидкість збільшуєтьсядо ω = 31 рад/с? Тертям і опором повітря знехтувати.

2.129. Обчислити кінетичну енергію диска масою 2 кг, що котиться без ковзання горизонтальною поверхнею з відносною швидкістю 2 м/с.

2.130. Яку роботу потрібно зробити, щоб маховику у вигляді диска масою 100 кг і радіусом 0, 4 м надати частоту обертання п = 10 рад/с, якщо він знаходився в стані спокою?

2.131. Визначити гальмівний момент, яким можна зупинити за t = 20 с махове колесо масою т = 50 кг і радіусом R = 0, 30 м, що обертається з частотою п = 20 об/с. Масу маховика вважати розподіленою на ободі. Чому дорівнює робота, що виконується гальмівним моментом?

2.132. Знайти корисну потужність двигуна, що приводить у рух платформу у вигляді диска масою т ₁ = 280 кг і радіусом R = 1, 0 м, на краю якої стоїть людина масою т ₂ = 60 кг, якщо за t = 30 с платформа набуває швидкість, що відповідає частоті п = 1, 2 об/с.

2.133. Диск масою т ₁ = 5 кг і радіусом R = 5 см, що обертається з частотою п = 10 об/хв. приводиться в зчеплення з нерухомим диском масою т ₂ = 10 кг такого ж радіуса. Визначити енергію, що піде на нагрівання дисків, якщо при їхньому зчепленні ковзання відсутнє.

2.134. При наявності тертя обруч скочується з похилої площини, а при відсутності ковзає на ній. У якому випадку і в скільки разів швидкість, яку буде мати обруч при основі похилої площини, більша?

2.135. Кулька, що скочується без ковзання на похилій площині з кутом нахилу , вдаряється об горизонтальну площину і після удару підскакує на висоту (див. рис. 9). Нехтуючи тертям і вважаючи удар абсолютно пружним, визначити шлях s, пройдений кулькою на похилій площині.

2.136. Диск радіусом R розкручується навколо вертикальної осі за допомогою мотузки довжиною , яку тягнуть з постійною силою (див. рис. 10). Після цього диск зіскакує з осі і попадає на горизонтальну площину. Скільки оборотів зробить диск на площині до повної зупинки, якщо його маса М, а коефіцієнт тертя диска об площину μ?

Рисунок 9

Рисунок 10

2.137. Дві кулі однакового розміру, виготовлені з алюмінію і міді, обертаються незалежно одна від одної навколо загальної нерухомої осі, що проходить через їхні центри, з кутовими швидкостями , . З якою кутовою швидкістю оберталися б обидві кулі, якби їх жорстко з’єднали?

2.138. Однорідна куля масою 2 кг прикріплена до вертикальної стіни за допомогою нитки (див. рис. 11). З якою силою куля давить на стіну, якщо нитка утворює з нею кут . Тертя не враховувати.

Рисунок 11

2.139. При якому найменшому значенні коефіцієнта тертя між стіною і кулею (див. рис. 11) точка А, в якій закріплена нитка, і центр кулі будуть знаходитись на одній вертикалі?

2.140. Однорідний стрижень довжиною 1, 0 м і масою 5, 0 кг підвішений горизонтально на двох паралельних мотузках однакової довжини. До стрижня прикріпленийвантаж масою 10 кг на відстані 0, 25 м від одного з його кінців. Визначити натяг мотузок.

2.141. На похилій площині з кутом нахилу знаходиться однорідний прямий циліндр радіусом 10 см. Чому дорівнює найбільша висота циліндра, при якій він ще не перекинеться?

2.142. Визначити положення центра мас стрижня, що складається з двох частин однакової довжини й однакового поперечного перерізу, одна з яких свинцева, а друга залізна, якщо його загальна довжина 0, 50 м.

2.143. Вантаж, підвішений на гумовому шнурі довжиною 50 см, обертають у горизонтальнійплощині з постійною швидкістю так, що шнур описує конічну поверхню з кутом при вершині 120°. Визначити відносне видовження шнура при обертанні, якщо при нерухомому вантажі видовження шнура 1 см. Видовження вважати пропорційним прикладеній силі.

2.144. Яке навантаження необхідно прикласти до алюмінієвого стрижня, щоб він при температурі 10 °С мав ту ж довжину, що і при С? Площа
поперечного перерізу стрижня . Модуль Юнга Е = 70 ГПа.

2.145. Гумовий шнур розтягнули так, що його довжина збільшилася в 2 рази. Який діаметр розтягнутого шнура, якщо до розтягання він був 1 см, а коефіцієнт Пуассона для гуми 0, 5?

2.146. Визначити відносну зміну об'єму сталевого дроту діаметром 2 мм при розтяганні його силою 1 кН. Коефіцієнт Пуассона μ = 0, 3.

2.147. При якій довжині підвішений вертикально сталевий дріт починає рватися під дією власної ваги? Межа міцності сталі р _т = 0, 69 ГПа.

2.148. Відносна зміна об’єму при поздовжній деформації стрижня дорівнює нулю. Визначити коефіцієнт Пуассона матеріалу стрижня.

2.149. Прямий дріт довжиною l піднімається вертикально вгору під дією сили, прикладеної до його верхнього кінця. При якому прискоренні наступить розрив дроту?

2.150. Знайти відносне видовження дроту довжиною l, що піднімається вертикально вгору з прискоренням а, під дією постійної сили, що прикладена до верхнього кінця.

2.151. Визначити коефіцієнт Пуассона алюмінієвого стрижня, якщо відомо, що під дією деякої сили, перпендикулярної перерізу стрижня відносна поздовжня деформація дорівнює , а при дотичному напрямі такої ж сили відносний зсув дорівнює Ψ = 0, 0027.

2.152. Визначити товщину нитки, на якій підвішена рамка дзеркального гальванометра, якщо під дією обертального моменту вона повертається на кут φ = 2°. Довжина нитки . Модуль зсуву матеріалу нитки G = 6, 5 ГПа.

2.153. Визначити відносне видовження мідного стрижня, якщо при його розтяганні виконується робота 0, 12 Дж. Довжина стрижня 2 м, площа його поперечного перерізу 1 мм².

2.154. Чому дорівнює щільність пружної енергії розтягнутого сталевого стрижня, якщо відносне видовження 0, 001?

2.155. Два вагони масами , що рухаються назустріч один одному зі швидкостями , зіштовхуються. Визначити стиск пружини буферів вагонів, якщо під дією сили пружина стискується на . Вважати, що стиск пружини пропорційний силі.

2.156. Визначити силу, з якою гімнаст масою т = 60 кг діє на пружну сітку при стрибку з висоти h = 8, 0 м, якщо під дією сили тяжіння гімнаста сітка прогинається на .

2.157. Яку силу необхідно розвити при натягу лука на , якщо вся робота йде на надання стрілі кінетичної енергії, а найбільша дальність польоту стріли s = 36 м? Маса стріли m = 50 г.

2.158. На яку висоту піднімається камінь масою , випущений вертикально вгору з рогатки, гумовий джгут якої перерізом S = 0, 20 см² і довжиною 1= 30 см був розтягнутий на ∆ l = 20 см? Опір повітря не враховувати. Модуль Юнга для гуми Е = 7, 8 МПа.

2.159. Літак сідає на палубу авіаносця зі швидкістю 100 км/год. Зачепившись за канат гальмування, літак пробігає до повної зупинки 50 м. Визначити перевантаження, якщо жорсткість канату не змінюється із розтяганням.

2.160. Підставку, на якій тіло, підвішене на пружині, опускають із прискоренням а < g. До якої максимальної довжини розтягнеться пружина, якщо в початковий момент вона була не розтягнута? Маса тіла т, жорсткість пружини .

2.161. Одержати обернені перетворення Лоренца:

^, , , .

2.162. Стрижень рухається з деякою постійною швидкістю V. Його довжина в нерухомій системі l ₁ = 3 м, а в системі відліку, пов’язаній зі стрижнем, l₂ = 6, 0 м. Визначити власну довжину стрижня і його швидкість відносно нерухомої системи відліку.

2.163. Швидкість руху Землі навколо Сонця . Знайти скорочення діаметра Землі в системі координат, пов'язаній із Сонцем.

2.164. Реактивний літак летить зі швидкістю 1000 м/с. На скільки годинник, що знаходиться в літаку, буде відставати від годинника на Землі?

2.165. Один із близнюків у віці 20 років відправляється в далеку космічну подорож до зірки на кораблі зі швидкістю (). Для жителів Землі відстань до зірки складає 40 світлових років (тобто таку відстань, що світло від зірки доходить до Землі за 40 років). На скільки років космічний мандрівник виявиться молодшим свого брата, що залишився на Землі?

2.166. Користуючись перетвореннями Лоренца, вивести релятивістський закон додавання швидкостей.

2.167. Користуючись формулами додавання швидкостей теорії відносності, довести, що додавання швидкостей ніколи не приводить до швидкостей, більших швидкості світла.

2.168. Показати, що фотон, випромінюваний у напрямі Землі зі швидкістю с зіркою, що рухається до Землі зі швидкістю , наближається до неї не зі швидкістю , а зі швидкістю с.

2.169. Дві ракети віддаляються від Землі в протилежні боки зі швидкістю 0, 8 с відносно Землі. Знайти, з якою швидкістю рухається одна ракета в системі відліку, пов’язаній з іншою ракетою.

2.170. Прискорювач надав радіоактивному ядру швидкість . У момент вильоту з прискорювача ядро викинуло в напрямі свого руху а- частинку зі швидкістю 0, 75 с відносно прискорювача. Знайти швидкість частинки відносно ядра.

2.171. Який вік космонавта за годинником Землі, якщо він у 30-літньому віці полетів на відстань до 20 св. років? Вважати його вік за годинником космонавта 35 років.

2.172. У скільки раз релятивістська маса електрона, що рухається зі швидкістю , більша його маси спокою?

2.173. Релятивістська маса тіла, що рухається з визначеною швидкістю, зросла в порівнянні з його масою спокою на 20%. В скільки разів при цьому зменшилася його довжина?

2.174. Релятивістська маса рухомого протона у 10 разів більша його маси спокою. Знайти швидкість протона.

2.175. Тіло рухається зі швидкістю 200, 0 Мм/с. В скільки разів збільшилася щільність тіла, що рухається, у порівнянні зі щільністю того ж тіла, що знаходиться в спокої? (Розміри тіла, перпендикулярні до напряму руху, не скорочуються.) При розв’язанні задачі використовувати визначення щільності як відношення маси спокою тіла до його об’єму.

2.176. Електрон рухається зі швидкістю 200, 0 Мм/с, Визначити кінетичну енергію за класичною і релятивістською формулами. Порівняти результати.

2.177. Знайти відношення кінетичної енергії електрона до його енергії спокою, якщо швидкість електрона 150, 0 Мм/с. Який релятивістський імпульс електрона?

2.178. Повна енергія мезона в 8 разів більша його енергії спокою. Яка швидкість мезона?

2.179. Якій зміні маси відповідає зміна енергії на 1, 0 Дж?

2.180. Показати, що кінетична енергія в релятивістському випадку при малих швидкостях руху переходить у класичний вираз для кінетичної енергії: .