Решение. На схеме указаны произвольно выбранные направления

На схеме указаны произвольно выбранные направления

U_k, I ₂, I ₃, I ₄, I ₅, I ₆.

Для этой схемы количество ветвей с неизвестными токами B = 5, коли-

Уравнения, записанные по I закону Кирхгофа для узлов «1», «2», «3», соответственно, имеют вид:

J ₁ – I ₂ + I ₆ = 0; I ₃ + I ₅ – J ₁ = 0; - I ₃ – I ₄ – I ₆ = 0. (1.4)

Для составления линейно независимых уравнений по II закону Кирх-гофа воспользуемся направленным графом электрической цепи рис. 1.22, б. Этот граф построен с учётом одной особенности исходной электрической цепи: схема имеет ветвь с источником тока J ₁, внутреннее сопротивление которого r_в = ¥ и ЭДС Е_в = ¥. По этой причине для главного контура невозможно записать уравнение по II закону Кирхгофа вида S I × r = S Е,

так как оно становится неопределённым: I ₅× r ₅ + J ₁× r_в = E ₂ + E_в

или I ₅× r ₅ + ¥ = E ₂ + ¥.

При этом необходимо помнить, что бесконечности, стоящие в разных частях уравнения можно объединить в левой части приведенного уравнения, и их разность даст конечное число U_k, что следует из уравнения, записанного по II закону Кирхгофа для контура, включающего напряжение U_k = E_в – J ₁× r_в вместо внутренней цепи источника тока: I ₅× r ₅ – U_k = E ₂.

Таким образом, указанный контур используется для определения напряжения U_k = - E ₂ + I ₅× r ₅ на зажимах источника тока, а для составления уравнений для расчёта неизвестных токов ветвей используем главные контуры с неизвестными токами ветвей связи, обходя их в направлении токов ветвей связи.

Для контура с ветвями 3, 4, 5 получаем I ₃× r ₃ – I ₄× r ₄– I ₅× r ₅ = 0, (1.5)

для контура с ветвями 6, 4, 2 I ₆× r ₆ – I ₄× r ₄= - E ₆ + E ₂. (1.6)

Система расчётных уравнений (1.4), (1.5), (1.6) включает 5 уравнений. Уменьшим число уравнений в системе, используя метод подстановки. Для этого из уравнений (1.4) выразим токи ветвей дерева графа через токи ветвей связи: I ₂ = J ₁ + I ₆; I ₅ = J ₁ – I ₃; I ₄ = - I ₃ – I ₆.

Полученные выражения подставим в (1.5) и (1.6) и приведём подобные. Получим I ₃× (r ₃ + r ₄ + r ₅ ) + I ₆× r ₄ – J ₁× r ₅ = 0, (1.7)

I ₆× (r ₆ + r ₄ ) + I ₃× r ₄ = - E ₆ + E ₂. (1.8)

Подставим числа в полученную систему и перенесём известное J ₁× r ₅ в правую часть (1.7): 60× I ₃ + 20× I ₆ = 200,

20× I ₆ + 40× I ₃ = -200.

Решим эту систему методом Крамера. Определитель системы

D = = 60× 40 – 20× 20 = 2000.

Вспомогательные определители

D ₃= = 200× = 200× (40 + 20) = 12000,

D ₆= = 200× = 200× (-60 – 20) = -16000.

Токи ветвей связи I ₃ = = = 6 A, I ₆ = = = -8 A.

Токи ветвей дерева I ₂ = J ₁ + I ₆ = 10 – 8 = 2 A,

I ₄ = - I ₃ – I ₆ = -6 – (-8) = 2 A,

I ₅ = J ₁ – I ₃ = 10 – 6 = 4 A.

Напряжение на зажимах источника тока

U_k = - E ₂ + I ₅× r ₅ = -100 + 4× 20 = -20 B.

Баланс мощностей U_k × J ₁ + E ₂× I ₂ – E ₆× I ₆ = I ₃²× r ₃ + I ₄²× r ₄ + I ₅²× r ₅ + I ₆²× r ₆.

-20× 10 + 100× 2 - 300× (-8) = 6²× 20 + 2²× 20 + 4²× 20 + 8²× 20,

2400 Вт = 20× (36 + 4 16 + 64) = 20× 120 = 2400 Вт.

Баланс мощностей сошёлся, задача расчёта токов решена верно.

Заметим, что использованный метод подстановки для уменьшения числа уравнений в системе используется для обоснования метода контурных токов (МКТ).

ЗАДАЧА 1.15. Мостовая схема рис. 1.23, а питается от реального источника электрической энергии, ЭДС которого E = 400 B, а внутреннее сопротивление r = 10 Ом. Сопротивления плеч моста r ₁= 20 Ом, r ₂= 40 Ом, r ₃= 60 Ом, r ₄= 30 Ом. Мост нагружен приёмником, сопротивление которого r ₅= 30 Ом.

Рассчитать токи в схеме методом уравнений Кирхгофа.