Устойчивость импульсных систем

Устойчивость импульсной системы, так же как и непрерывной, связана с определённым расположением полюсов ее передаточной функции на комплексной плоскости. Как было показано ранее (см. пп. 3.1, рис. 3.1), непрерывная система устойчива, если полюсы ее передаточной функции находятся в левой полуплоскости комплексной переменной p. Если, учитывая равенство , представить передаточную функцию дискретной системы в виде то условие ее устойчивости формулируется аналогично: дискретная система устойчива, если полюсы ее передаточной функции находятся в левой полуплоскости комплексной переменной p.

При замене переменных левая полуплоскость переменной p преобразуется в круг единичного радиуса на плоскости переменной Z. Поэтому импульсная система устойчива, если полюсы ее передаточной функции находятся внутри окружности единичного радиуса на плоскости переменной Z. Заметим, что, так же как и для непрерывной системы, полюсы передаточной функции замкнутой импульсной системы являются корнями характеристического уравнения замкнутой импульсной системы.

Приведенные выше рассуждения можно доказать путем анализа уравнения (8.43), описывающего свободное движение импульсной системы.

Импульсная система устойчива, если

. (8.46)

Из (8.46) и (8.43) ясно, что для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы

(8.47)

т.е. все корни характеристического уравнения должны лежать внутри области устойчивости, имеющей круг единичного радиуса на комплексной плоскости Z (см. рис. 8.11).

	Например, система с характеристическим уравнением будет устойчива, если .
Рис. 8.11. Область устойчивости импульсной системы на плоскости Z

При характеристическом уравнении более высокого порядка непосредственное использование условия (8.47) затруднительно.

Как и в случае непрерывных систем, устойчивость импульсной системы можно проанализировать, не вычисляя значения корней характеристического уравнения замкнутой системы, а используя критерии устойчивости. При малой степени разностного уравнения (n £ 5) удобно пользоваться алгебраическим критерием устойчивости Гурвица, для n > 5 целесообразно применять частотные критерии, для чего необходимо воспользоваться соотношением или, переходя к частотным характеристикам, () . Однако, как показано в пп. 8.4, ввиду периодичности частотных характеристик импульсных фильтров целесообразно перейти к псевдочастоте с помощью соотношений (8.13)…(8.16). Напомним, что при изменении w в пределах псевдочастота пробегает все значения от -¥ до ¥. Учитывая, что , то каждой точке окружности единичного радиуса в плоскости z с определёнными координатами и по вещественной и мнимой осям соответствует некоторая частота из интервала от 0 до . Однако поскольку при переходе к псевдочастоте с помощью w -преобразования , то при изменении в указанном интервале изображающая точка в плоскости движется по мнимой оси от 0 до и далее от к 0, т.е. проходит вдоль всей мнимой оси. Поэтому окружность единичного радиуса, являющаяся границей области устойчивости в плоскости z, при переходе к -изображению отображается в мнимую ось плоскости . Область устойчивости в плоскости лежит слева от мнимой оси, как показано на рис. 8.12, и совпадает по форме с областью устойчивости непрерывных систем в области комплексной переменной p.

	Это делает правомерным использование при исследовании устойчивости импульсных систем всех критериев устойчивости, разработанных применительно к непрерывным системам. Необходимо лишь перейти от z к w или, при использовании частотных критериев устойчивости, к псевдочастоте.
Рис. 8.12. Область устойчивости импульсных систем на плоскости w