Дискретные передаточные функции

Рассмотрим разностное уравнение импульсного фильтра в форме (8.1):

Используя свойство линейности z-преобразования, перейдём к изображениям:

или, на основании теоремы запаздывания,

(8.2)

Из (8.2) получим для изображения искомой решетчатой функции:

(8.3)

где введена дискретная передаточная функция импульсного фильтра Она определяется как отношение z-преобразования выходного сигнала к z-преобразованию входного сигнала.

(8.4)

Дискретная передаточная функция играет в дискретных системах ту же роль, что и обычная передаточная функция в непрерывных системах.

Выражению (8.4) соответствует запись дискретной передаточной функции как дробно-рациональной функции от :

(8.5)

При нахождении дискретной передаточной функции за основу обычно принимаются временные характеристики дискретной системы.

Важной временной характеристикой импульсного фильтра является решетчатая весовая функция , определяемая как реакция импульсного фильтра на единичную импульсную решетчатую функцию , поданную на его вход при нулевых начальных условиях.

В соответствии с этим определением при на выходе получаем

Тогда (8.3) конкретизируем в виде .

Поскольку (табл. 8.1), то . Таким образом, дискретная передаточная функция импульсного фильтра есть z-преобразование его решетчатой весовой функции. Следовательно, правая часть выражения является произведением изображений решетчатых функций и , и в соответствии со свойством z-изображения равно изображению их свёртки. Поэтому при переходе к оригиналу получим для выходной решетчатой функции

(8.6)