Построение переходных процессов

При известной (8.40) выражение (8.39) позволяет найти изображение при произвольном . Переход от к по табл. 8.1 путём разложения в ряд Лорана или другими известными методами даёт решётчатую функцию, соответствующую дискретным значениям переходного процесса. Наиболее простые выкладки получаются при . Если значения в тактовых точках не позволяют достаточно хорошо представить непрерывную функцию, описывающую реальный сигнал на выходе системы, то вычисления повторяют при или других дробных значениях относительного смещения. Получив дискретные отсчёты в достаточно большом количестве точек и соединив их на графике плавной линией, можно построить кривую переходного процесса с необходимой точностью.

Переходный процесс (свободное движение) можно построить и без нахождения z-преобразования путём непосредственного решения разностного уравнения (8.1), описывающего систему и взаимно однозначно связанного с . Рассмотрим его запись:

,

произведённую при . Решение такого неоднородного разностного уравнения состоит из переходной (свободной) и вынужденной составляющих выходной величины:

.

Переходная (свободная) составляющая является общим решением однородного разностного уравнения, полученного приравниванием к 0 правой части неоднородного уравнения. По аналогии с общим решением дифференциального уравнения [см. (3.3)] её записывают в виде:

. (8.43)

Здесь - корни характеристического уравнения

(8.44)

- постоянные, определяемые из начальных условий.

Однако на практике более удобно численное решение разностного уравнения, основанное на его записи в виде рекуррентного соотношения:

. (8.45)

(8.45) позволяет вычислить каждое последующее значение переходного процесса по его предыдущим значениям и значениям входного воздействия. Она хорошо минимизируется и используется при решении разностных уравнений на ЦВМ.