Передаточные функции импульсных систем

Большинство импульсных систем радиоавтоматики можно представить в виде замкнутого контура, показанного на рис. 8.8, где импульсный элемент включен в канале ошибки непосредственно после элемента сравнения.

Рис. 8.8. Структурная схема импульсной системы радиоавтоматики

Это соответствует импульсному режиму работы дискриминатора. Динамические свойства такой системы определяются её приведённой непрерывной частью (ПНЧ), которая представляет собой последовательное соединение формирующего элемента (ФЭ) и непрерывной части с передаточной функцией W_н(p).

Задающее воздействие g (t) на входе рассматриваемой системы является непрерывным процессом. Однако наличие в составе системы идеального импульсного элемента (ИИЭ) приводит к тому, что в формировании управляемого сигнала (выходного напряжения) y (t)учавствуют только значения воздействия g(t) в дискретные моменты времени t = 0, T, 2T, …, называемые тактовыми точками, т.е. значения дискретного процесса или . При изучении выходного процесса системы y(t) во многих случаях достаточно знать его значения лишь в дискретные моменты времени , т.е. значение решетчатой функции . Задача математического описания дискретной системы сводится к установлению связи между дискретными процессами на входе и выходе системы. Таким образом, считаем, что на входе и выходе приведенной непрерывной части (ПНЧ) системы действуют дискретные сигналы в виде решетчатых функций и соответственно. Как показано в пп. 8.1, приведенная непрерывная часть импульсной системы должна рассматриваться в качестве импульсного фильтра, основными характеристиками которого являются:

- решётчатая весовая функция h[n];

- дискретная передаточная функция H(z).

Найдём эти характеристики. Решетчатую весовую функцию импульсного фильтра h[n] найдём как реакцию ПНЧ на единичную импульсную решетчатую функцию (рис. 8.9). На том же рис. 8.9 показан также примерный вид вызванных подобным входным воздействием функций и . Выходной сигнал формирующего элемента является одиночным импульсом, в случае АИМ-1 имеющим прямоугольную форму.

Рис. 8.9. К пояснению функционирования импульсной системы

В общем случае форма импульса может быть произвольной. Выходной сигнал непрерывной части y(t) - непрерывная функция, являющаяся реакцией непрерывной части на одиночный импульс ; которую можно определить по формуле свёртки:

(8.30)

где - весовая функция непрерывной части. Напомним, что (см. пп.1.3).

Решетчатая весовая функция ПНЧ h [ n ] получится в результате дискретизации во времени сигнала (см. (8.30)), т.е. . Дискретную передаточную функцию ПНЧ найдём как z-преобразование решетчатой весовой функции (см. пп. 8.3) или, в эквивалентной записи, , где - изображение по Лапласу. Учитывая (8.30) (свёртка), можно записать:

(8.31)

где .

Выражение (8.31) позволяет записать искомую дискретную передаточную функцию ПНЧ:

.

Поскольку идеальный импульсный элемент производит лишь дискретизацию сигнала рассогласования, не изменяя его значений, то, как следует из рис. 8.8, полученное выражение есть дискретная передаточная функция разомкнутой системы таким образом,

(8.32)

Если имеет место АИМ-1, то - прямоугольный импульс с единичной высотой и относительной длительностью g, тогда:

. (8.33)

При g < < 1 в (8.33) можно приблизительно принять , что даёт или при подстановке в (8.32) имеем:

(8.34)

Принятое условие g < < 1 обычно выполняется, если в ПНЧ имеется апериодическое звено с Т > gТ.

Если интересоваться в смещенные по отношению к тактовым точкам моменты времени , где 0 £ e £ 1, то в (8.32) и (8.34) следует перейти к модифицированному z-преобразованию. Тогда получим:

(8.35)

а изображение выходной величины через изображение её ошибки выразим соотношением:

(8.36)

Здесь изображение ошибки взято при e = 0, т.к. импульсный элемент реагирует на ошибку лишь в тактовых точках.

Рассмотрим теперь замкнутую систему, считая её импульсным фильтром со структурной схемой, изображённой на рис. 8.10, где . Переходя к изображениям, запишем:

или

.

Рис. 8.10. Система автоматического управления как импульсный фильтр

Отсюда (8.37)

где (8.38)

- дискретная передаточная функция замкнутой системы для ошибки.

Подставляя в (8.36) выражение (8.37), получим:

(8.39)

где (8.40)

- дискретная передаточная функция замкнутой системы.

Заметим, что по форме записи дискретные передаточные функции (8.38) и (8.40) полностью совпадают с соответствующими передаточными функциями непрерывных систем [см. (2.5) и (2.4) соответственно]. По форме записи совпадают также и выражения для изображений управляемой величины [(8.39) и (1.7)], и ошибки системы по задающему воздействию [(8.37) и (3.16)]. Отличие заключается в том, что в случае непрерывных систем все операции производятся в области комплексной переменной Лапласа, а в случае импульсных систем – в области переменной z-преобразования.

Когда выражение (8.39) принимает вид , где

Заметим, что изображение смещённых значений ошибки принципиально не может быть получено на основе аналогичного (8.39) выражения, в которое входило бы изображение только несмещённых значений . В отличие от текущая ошибка зависит от закона непрерывного изменения , а не только от его значений при . Поэтому не существует и для нахождения изображения смещённых значений ошибки следует использовать формулу

(8.41)

Из выражения (8.40) легко получить обратное по отношению к нему выражение:

(8.42)

Таким образом, в импульсных системах управления, так же как и в непрерывных, существует однозначная взаимная связь между дискретными передаточными функциями разомкнутой и замкнутой систем [ и соответственно]. Знание любой из них позволяет записать разностные уравнения для смещённых значений выходной величины или ошибки и даёт полную информацию для исследования всех свойств линейной импульсной системы. Во многих практических случаях период дискретности достаточно мал для того, чтобы при исследованиях можно было ограничиться рассмотрением процессов в системах лишь в тактовых точках . Тогда следует принять и использовать и .