Исследование точности управления импульсных систем при случайных воздействиях

В качестве основного показателя точности импульсной системы при случайных воздействиях, рассматриваемых как решётчатые стационарные случайные процессы, обычно принимают средний квадрат значений ошибки в тактовых точках .

Если ко входу системы приложены два воздействия – задающее и возмущающее , причём взаимная корреляция между ними отсутствует, то, как и в непрерывных системах, средний квадрат результирующей ошибки является суммой двух составляющих:

. (8.51)

Динамическая ошибка связана с тем, что высокочастотные спектральные составляющие подавляются системой и на выход не проходят. Её можно представить как результат пропускания решетчатой функции через импульсный фильтр с дискретной передаточной функцией , определяемой формулой (8.38).

При известной спектральной плотности задающего воздействия средний квадрат динамической ошибки с учётом (8.24) и (8.38) вычисляют по формуле

. (8.52)

Ошибка от возмущающего воздействия объясняется прохождением на выход системы низкочастотных составляющих .

Средний квадрат этой ошибки при известной спектральной плотности возмущающего воздействия с учётом (8.24) и (8.40) вычисляется по формуле

. (8.53)

Часто спектральная плотность при малых значениях изменяется настолько медленно, что её можно считать равномерной в пределах полосы пропускания системы. Тогда формула (8.53) принимает вид:

, (8.54)

где . (8.55)

(8.55) – эквивалентная полоса пропускания замкнутой импульсной системы для дискретного белого шума.

Формулы (8.51)…(8.55) позволяют вычислить средний квадрат результирующей ошибки и оценить точность системы. Входящие в них и однозначно связаны с , и , исходных непрерывных процессов и могут быть выражены через эти характеристики.

Таким образом, как видно из содержания пп. 8.7.5, оценка качества работы импульсной системы при случайных воздействиях производится по методике, принятой для оценки качества работы линейных непрерывных стационарных систем (см. разд. 4) при использовании другого математического аппарата (Z- преобразования, w -преобразования). Однако следует иметь в виду следующее. Так как в большинстве случаев дискретный случайный процесс получается из соответствующего непрерывного случайного процесса дискретной выборкой, то всегда интересуются связью непрерывного и дискретного «белого» шума. Уровень дискретного во времени «белого» шума равен произведению интервала дискретности T на дисперсию дискретного процесса, которая равна дисперсии соответствующего непрерывного процесса. Однако для «белых» шумов установить такую связь невозможно [II], так как дисперсия математического непрерывного “белого” шума равна бесконечности. Этот вопрос можно обойти, если считать непрерывный случайный процесс физически “белым шумом” по отношению к рассматриваемой системе, если в пределах полосы пропускания этой системы его спектральная плотность сохраняет постоянное значение. Следовательно, необходимо взять такое аналитическое выражение спектральной плотности, чтобы оно обеспечивало требование постоянства спектральной плотности в полосе пропускания системы и конечную ширину спектра. Этому требованию удовлетворяет экспоненциально-коррелированный непрерывный шум с и спектральной плотностью:

(8.56)

Тогда и для спектральной плотности решетчатого процесса в соответствии с (8.19) можно записать:

, (8.57)

где .

Перейдя в (8.57) к псевдочастоте по формуле (8.21), получим

(8.58)

где . (8.59)

Учитывая, что при , из (8.58) и (8.59) для входящей в формулу (8.54) величины при найдём выражение:

. (8.60)