Частотные характеристики импульсных фильтров

Пусть входной сигнал импульсного фильтра является решетчатой функцией sin – вида:

(8.7)

где Т – период дискретности.

При анализе удобно использовать символическую запись как последовательность комплексных чисел:

(8.8)

мнимая составляющая которых совпадает с (8.7). Здесь - комплексная амплитуда. Зная решетчатую весовую функцию импульсного фильтра , найдём его реакцию на рассматриваемый сигнал. Для этого, используя формулу сверки (8.6) и выражение (8.8), запишем:

(8.9)

Введём в рассмотрение комплексную функцию

(8.10)

которую запишем в виде

(8.11)

Здесь и - вещественные функции, являющиеся модулем и аргументом функции С учётом (8.10) и (8.11) представим (8.9) в аналогичном (8.8) виде:

(8.12)

где - амплитуда; - комплексная амплитуда функции .

Выделив мнимую составляющую выражения (8.12), получим:

.

Таким образом, искомый выходной сигнал линейного импульсного фильтра представляет собой, как и входной сигнал, гармоническую решетчатую функцию.

Функция равна отношению комплексных амплитуд выходного и входного сигналов Поэтому по аналогии с частотной передаточной функцией непрерывной системы она называется частотной передаточной функцией импульсного фильтра.

Графики её модуля есть АЧХ импульсного фильтра, аргумента - его ФЧХ. Возможно использование логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ).

Как видно из (8.10), частотная передаточная функция получается из дискретной передаточной функции посредством подстановки . Напомним, что в линейных непрерывных системах частотная передаточная функция получается путем простой подстановки в передаточной функции р на ().

При рассмотрении выявляется, что вследствие периодичности комплексного аргумента она тоже периодическая и её значения повторяются с периодом, равным круговой частоте квантования . Такую же периодичность имеют все частотные характеристики импульсного фильтра. Физически это объясняется тем, что гармонические сигналы на частотах и невозможно различить, наблюдая их лишь в дискретные моменты времени . Поэтому импульсный фильтр реагирует на такие сигналы совершенно одинаково. Периодичность частотных характеристик импульсного фильтра, рассматриваемых в функции частоты w, делает их построение неудобным. Поэтому часто применяются частотная передаточная функция и частотные характеристики с использованием так называемой псевдочастоты. Переход к псевдочастоте делается на основе w- преобразования.

Введём комплексную величину w как билинейное преобразование комплексной величины Z:

. (8.13)

Возможно и обратное преобразование

. (8.14)

Сделав в (8.13) подстановку , получим

(8.15)

где представляет собой так называемую относительную псевдочастоту. Соотношение по форме совпадает с используемой для непрерывных систем записью . Удобно ввести в рассмотрение абсолютную псевдочастоту

(8.16)

При выполнении условия , когда , она практически совпадает с круговой частотой , т.е. Это облегчает исследование дискретных систем. Кроме того, важно, что при изменении частоты в пределах псевдочастота пробегает все значения от до Поэтому при переходе к псевдочастоте наиболее интересный интервал частот, где полностью определяется форма частотных характеристик, растягивается до бесконечной длины, а периодичность частотных характеристик пропадает.

С использованием псевдочастоты частотную передаточную функцию импульсного фильтра с учётом (8.15), (8.16) записывают в виде:

(8.17)

Она обычно является дробно-рациональной функцией.