Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Полные ортонормальные системы
Рассмотрим вопрос о сходимости представления произвольного сигнала в конечномерном пространстве . Будем предполагать, что число измерений подпространства можно произвольно увеличивать. (При этом вопросы оптимальности подпространств, натянутых на базисные функции, рассмотрены не будут). Пространство - полное сепарабельное пространство, т.е. выбирая достаточно большим, можно получить сколь угодно близкую аппроксимацию любого , (1.3.16) где - бесконечное множество ортонормированных функций, для которых . (1.3.17) Соотношение (1.3.17) есть неравенство Бесселя, оно показывает, что сумма квадратов коэффициентов разложения ограничена для любого . Неравенство Бесселя вытекает из следующих соображений: , где . При . Отсюда же следует, что - последовательность Коши, сходящаяся в пространстве к некоторой точке. Если - полная ортонормированная система, то сходится к . Ортонормированная система является полной, если не существует дополнительных, отличных от нуля ортогональных векторов, которые можно было бы добавить к системе. Заметим, что произвольная бесконечная ортонормальная система не обязательно полная. В частности, система функций из теоремы Котельникова ортонормальная, но не полная в , т.к. функции с частотой больше не принадлежат подпространству, натянутому на эту систему. Не нужно путать полноту метрического пространства и полноту ортонормальной системы. Для полной ортонормальной системы неравенство Бесселя превращается в равенство для любого . Таким образом, выбирая достаточно большим для , можно норму погрешности сделать сколь угодно малой. При этом, правда, для разных будет разное . Тем не менее, такое представление очень широко используется, так как: 1. Скалярное произведение в и совпадают; 2. Известно много ортонормальных систем; 3. Если известна проекция на , то для нахождения проекции на не нужно производить все вычисления заново, а достаточно определить (благодаря самосопряженности базиса), т.е. каждый -ый член разложения – это частная проекция на одномерное пространство. При определении базисных функций для представления сигнала часто используют понятие нормы с весом. При оценке погрешности представления бывает желательно обратить внимание на какой-либо участок области определения функции. Для этого используют интеграл , (1.3.18) где - некоторая неотрицательная функция, определенная на отрезке , вместо нормы . Интеграл (1.3.19) удовлетворяет условиям для скалярного произведения, а система функций ортонормальна с весом , если . При этом базисные функции претерпевают лишь незначительные изменения: , (1.3.20) где ортонормальны в обычном смысле, а - с весом .
|