💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Линейны пространства

Линейное пространство – это множество элементов (называемых векторами), для которых справедливо:

А. Для каждой пары векторов и из рассматриваемого множества существует вектор , принадлежащий этому же множеству и называемый их суммой, такой, что:

1. (коммутативность);

2. (ассоциативность); (1.2.5а)

3. , где - нулевой элемент, единственный в множестве;

4. , причем - единственный в множестве векторов.

Б. Имеется множество элементов, называемых скалярами, которые образуют поле. Операция умножения вектора на скаляр ставит любому скаляру и любому вектору в соответствие вектор , причем

1. (ассоциативность);

2. ,

3. (дистрибутивность); (1.2.5б)

4. (дистрибутивность).

Заметим, что линейное пространство содержит два различных нуля при сложении: один для векторов (нулевой элемент), другой для скаляров.

В теории сигналов обычно рассматриваются линейные пространства с конечными полями скаляров (например бинарные ), поэтому отождествлять поле скаляров с множеством действительных чисел не всегда удобно.

Если в качестве скаляров взяты действительные числа, линейное пространство называется действительным линейным пространством, если комплексные, то комплексным линейным пространством.

Вектор, образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами, называется линейной комбинацией

. (1.2.6)

Множество всех линейных комбинаций векторов образует линейное пространство. Множество векторов называется линейно независимым, если равенство

(1.2.7)

справедливо только при всех , равных нулю. Другими словами. в линейно независимом пространстве вектор не может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов.

Пусть – пространство линейных комбинаций линейно независимых векторов . Тогда каждый вектор в соответствует единственной линейной комбинации векторов - единственному множеству скалярных коэффициентов. При этом является ‑ мерным линейное пространством, множество называют базисом для и говорят, что натянуто на этом базисе. Заметим, что линейное пространство имеет множество базисов, т.к. базисом может служить любое множество линейно независимых векторов.

Например, пусть , , тогда

, (1.2.8)

. (1.2.9)

Любой вектор можно представить в виде линейной комбинации

, (1.2.10)

где

(1.2.11)