Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Линейны пространства






    Линейное пространство – это множество элементов (называемых векторами), для которых справедливо:

    А. Для каждой пары векторов и из рассматриваемого множества существует вектор , принадлежащий этому же множеству и называемый их суммой, такой, что:

    1. (коммутативность);

    2. (ассоциативность); (1.2.5а)

    3. , где - нулевой элемент, единственный в множестве;

    4. , причем - единственный в множестве векторов.

    Б. Имеется множество элементов, называемых скалярами, которые образуют поле. Операция умножения вектора на скаляр ставит любому скаляру и любому вектору в соответствие вектор , причем

    1. (ассоциативность);

    2. ,

    3. (дистрибутивность); (1.2.5б)

    4. (дистрибутивность).

    Заметим, что линейное пространство содержит два различных нуля при сложении: один для векторов (нулевой элемент), другой для скаляров.

    В теории сигналов обычно рассматриваются линейные пространства с конечными полями скаляров (например бинарные ), поэтому отождествлять поле скаляров с множеством действительных чисел не всегда удобно.

    Если в качестве скаляров взяты действительные числа, линейное пространство называется действительным линейным пространством, если комплексные, то комплексным линейным пространством.

    Вектор, образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами, называется линейной комбинацией

    . (1.2.6)

    Множество всех линейных комбинаций векторов образует линейное пространство. Множество векторов называется линейно независимым, если равенство

    (1.2.7)

    справедливо только при всех , равных нулю. Другими словами. в линейно независимом пространстве вектор не может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов.

    Пусть – пространство линейных комбинаций линейно независимых векторов . Тогда каждый вектор в соответствует единственной линейной комбинации векторов - единственному множеству скалярных коэффициентов. При этом является ‑ мерным линейное пространством, множество называют базисом для и говорят, что натянуто на этом базисе. Заметим, что линейное пространство имеет множество базисов, т.к. базисом может служить любое множество линейно независимых векторов.

    Например, пусть , , тогда

    , (1.2.8)

    . (1.2.9)

    Любой вектор можно представить в виде линейной комбинации

    , (1.2.10)

    где

    (1.2.11)






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.