Пространства со скалярным произведением

Для улучшения структуры пространства вводят дополнительную геометрическую характеристику – скалярное произведение двух векторов - отображение упорядоченных пар векторов линейного пространства в комплексную плоскость . Будем обозначать скалярное произведение через . Оно должно удовлетворять следующим условиям:

1) ;

2) ; (1.2.16)

3) .

Покажем, что

(1.2.17)

есть норма линейного пространства. Очевидно, что условия и выполняются по определению. Покажем, что выполняется неравенство треугольника.

Предварительно докажем, что

. (1.2.18)

Возьмем вектор , где - скаляр.

. (1.2.19)

В частности, положив , из (1.38) получаем неравенство

, (1.2.20)

из которого следует (1.2.18).

Используя равенство , докажем неравенство треугольника:

,

где

, , , ,

получаем

,

откуда получаем

. (1.2.21)

Таким образом скалярное произведение порождает норму, а та в свою очередь, метрику.

Если пространство со скалярным произведением является метрически полным, то оно называется гильбертовым пространством.

Скалярное произведение часто интерпретируют как меру угла между векторами. Исходя из неравенства Шварца можно записать

, (1.2.22)

тогда

. (1.2.23)

Очень важно понятие ортогональности векторов. Два вектора и ортогональны тогда и только тогда, когда .

Приведем пример использования скалярного произведения для сигналов с ограниченной энергией. Пусть сигнал сдвигается во времени. Обозначим через сигнал , сдвинутый во времени на , т.е. . Тогда для пространства имеем

, (1.2.24)

где обозначено

. (1.2.25)

Таким образом, каждому сигналу ставится в соответствие действительная функция от временного сдвига, которая характеризует смещение изображающей точки в пространстве сигналов, обусловленное таким сдвигом. Для быстро изменяющихся сигналов резко уменьшается (сужается) с ростом . В случае короткого импульса , очевидно, узкая, но, как ясно из рис. 1.6, и сигналу большой длительности может соответствовать узкая . Во многих практических задачах желательно использовать сигналы с узкой , например, в радиолокации это позволяет с высокой точностью измерить время прихода сигннала. В радиолокации эту функию называют сечением функции неопределенности вдоль оси времени или автокорреляционной функцией сигнала .

Рис. 1.6. Два сигнала, имеющие почти одинаковую временную функцию неопределенности.

1.2.6. Представление элементов векторного пространства со скалярным произведением

Существует прямая связь между сигналом и его представлением. Предположим, что - произвольное мерное пространство, натянутое на базис , тогда для имеем

. (1.2.26)

Если левую и правую часть умножить скалярно на , то

. (1.2.27)

То есть получим систему линейных скалярных уравнений, решив которую относительно вектор-строки получим представление в пространстве относительно базиса .

Выберем так, чтобы они были попарно ортогональны к , т.е.

(1.2.28)

Получаем

. (1.2.29)

Базис , удовлетворяющий (1.2.28), называется взаимным базисом, и для любого получим представление

. (1.2.30)

Другой удобный способ состоит в использовании в качестве базиса в ортонормальной системы. Система векторов называется ортонормальной, если взаимным базисом для нее является она сама, т.е. векторы взаимно ортогональны, и норма их равна единице:

. (1.2.31)

Тогда для любого имеем

. (1.2.32)

В этом случае обеспечивается равенство скалярных произведений в обоих пространствах (векторном и скалярном). Для и имеем

. (1.2.33)

Важное значение имеют способы построения ортогональных базисов. Одним из наиболее употребляемых является так называемый итеративный способ ортогонализации Грама-Шмидта.

Пусть в задана система линейно независимых векторов, тогда система ортонормальных векторов получается путем нормализации векторов по следующему правилу:

,

,

,

,

, (1.2.34)

,

,

.

Заметим, что если переставить местами, то получим другую ортонормальную систему.