Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.

Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:

— Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
— Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
— Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;

Начать пользоваться сервисом

Как продвинуть сайт на первые места?

Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.

Ускорение продвижения

Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.

Начать продвижение сайта

Подбор эмпирических формул

Подбор эмпирических формул служит для приближенного выражения функциональной зависимости между величинами по данным измерений их собственных значений. Следует различать две задачи: нахождение параметров формул заданного вида и подбор формул возможно более простого вида.

1. Нахождение параметров линейных зависимостей методом наименьших квадратов.

Для линейной функции одной переменной

Параметры a и b находятся по формулам

,

,

где N – общее количество соответствующих данных знак ∑ означает суммирование по всем данным, например:

.

Параметры a и b, найденные по указанным формулам, обладают тем свойством, что для них сумма квадратов разностей

принимает наименьшее значение. В случае равноточных независимых измерений значений x_k, y_k указанные формулы дают наиболее вероятные значения параметров a и b.

Формула для параметра a не меняется при линейных преобразованиях величин x и y вида:

,

,

это обстоятельство служит для упрощения вычислений.

Если значение аргумента x отличается на постоянное число h и количество данных нечетно, т.е.

,

то линейная функция находится по формуле

,

где

,

.

Для линейной функции двух переменных

параметры a, b, c находятся из системы линейных уравнений

,

где N – общее количество соответствующих данных ; знак ∑ означает суммирование по всем данным.

Параметры a, b, c, найденные из указанной системы, обладают тем свойством, что для них сумма квадратов разностей

принимает наименьшее значение. В случае равноточных независимых измерений решение указанной системы дает наиболее вероятные значения параметров a, b, c.

Если значения z измерены для сетки равноотстоящих значений x и y:

; ,

; ,

то линейная функция находится по формуле

,

,

,

причем суммы ∑ берутся по всем данным.

Аналогичные формулы имеют место для линейных функций большего числа переменных.

2. Нахождение параметров многочленов методом наименьших квадратов.

Для многочлена

(степени n < N) параметры a₀, a₁, …, a_n находятся из системы линейных уравнений

,

где N – общее количество соответствующих данных (x_k, y_k); знак ∑ означает суммирование по всем данным.

Параметры a₀, a₁, …, a_n найденные из указанной системы, обладают тем свойством, что для них сумма квадратов разностей

принимает наименьшее значение. В случае равноточных независимых измерений значений x_k, y_k решение указанной системы дает наиболее вероятные значения параметров a ₀, a ₁, …, a_n.

Нахождение параметров многочлена значительно упрощается, если значения y_k измерены для нечетного количества равноотстоящих значений аргумента

; .

В этом случае многочлен находится по формуле

,

где

,

,

; (v=0, 1, 2, …, n),

где – ортогональные многочлены Чебышева.

Формулы для первых пяти многочленов Чебышева (расчет в табл. 7):

; ;

; ;

; ;

; ; ;

; ; .

Таблица 7. Коэффициенты первых пяти многочленов Чебышева

N = B0	B1	3c2		5c3		7c4

Примеры.

Многочлен второй степени для пяти точек, где

,

где

; ; .

Многочлен третьей степени для семи точек

где

;

;

.

Примечание. Простота нахождения многочленов в случае равноотстоящих значений аргумента показывает, как важно при планировании эксперимента учитывать возможности дальнейшей математической обработки экспериментальных данных.

Оценка погрешности приближения величины y многочлена производится по формуле

.

При увеличении степени подбираемого многочлена на единицу, ранее найденные параметры A ₀, A ₁ …, A _n не изменяются, к многочлену добавляется новый член , и погрешность уменьшается на .

3. Нормальная система уравнений при нахождении параметров методом наименьших квадратов. Если в формулу заданного вида

искомые параметры a ₀, a ₁ …, a _n (n < N) входят линейно, то они находятся из нормальной системы линейных уравнений:

где

; ;

1, 2, …, n; N – общее количество соответствующих данных (x_k, y_k).

4. Нахождение параметров методом выравнивания (спрямления).

Выравнивание (спрямление) заключается в таком преобразовании переменных x и y к новым переменным X и Y, чтобы зависимости между новыми переменными была линейной. Выравнивание применяются только для формул, содержащих два параметра.

Примечание. Найденные параметры не удовлетворяют принципу наименьших квадратов для зависимости y от x.

Таблица 8. Примеры.

Формула	Преобразование	Выровненная формула
	;
	;
	;
	;

– функция, обратная интегралу вероятностей.

5. Подбор вида формулы. Если вид формулы неизвестен, то её подбирают по характеру расположения точек (x_k, y_k) на графике, пользуясь таблицами кривых.

Если подбор формулы производится на небольшом участке, а им практически пригодны многие формулы, то обычно ограничиваются наиболее простым функциями, например многочленами невысокой степеней, дробно-линейными функциями показательными или логарифмическими функциями. Для периодических функций подбирают тригонометрический полином.

При подборе формул с двумя параметрами широко применяется графическое выравнивание при помощи функциональных сеток (логарифмическая бумага, полулогарифмическая бумага, клетчатка вероятностей и т.п.). Например, если на полулогарифмической бумаге точки (x_k, y_k) ложатся на прямую линию, то зависимость y от x Описывается показательной функцией .

5.4 Сглаживание эмпирических данных

Сглаживание применяется при экспериментальном изучении зависимости y от x для исключения случайных ошибок измерений значений y.

Сглаживание заключается в исправлении каждого измеренного значения y₀ путем учета близких к нему значений , , …

Сглаживание производится в предположении, что в некоторой окрестности точки x ₀ истинная зависимость y от x достаточно хорошо выражается многочленом невысокой степени. Значение этого многочлена в точке x ₀ и принимается за исправленное значение y ₀.

При сглаживании многочленом второй или третьей степени для равноотстоящих значений аргумента пользуются формулой

,

где

; ;

значения с ₂ и B ₂ даны в табл. 7.

Наиболее распространена формула сглаживания по семи точкам

,

где y_k – значение функции для равноотстоящих значений аргумента

; .

Эта формула применяется для сглаживания всех значений y, кроме трех первых и трех последних.