Погрешности арифметических действий.

При сложении и вычитании приближенных чисел их следует округлять до одного и того же разряда.

Абсолютная погрешность алгебраической суммы

.

При большом количестве N слагаемых с одной и той же погрешностью абсолютная погрешность алгебраической суммы составляет .

Пример.

Если число слагаемых меньше 30 и во всех слагаемых сотые верны, то сумме будут верны десятые.

Примечание. При вычитании близких чисел происходит потеря относительной точности. В этих случаях следует преобразовать формулу или схему расчета так, чтобы избежать вычитания близких чисел.

При умножении и делении приближенных чисел их следует округлять до одинакового количества значащих цифр. Результат следует округлять до такого же количества значащих цифр (последний знак результата может быть сомнителен).

Относительная погрешность произведения или частного двух чисел а и b равна

Пример.

Расчета абсолютной погрешности произведения:

; ; %

; , ;

; ;

Примечание. Если первая значащая цифра числа а или b равна 1, то в нем следует сохранять на один знак больше, чем указано выше.

При большом количестве N сомножителей с одинаковым количеством верных знаков, т. е. примерно с одной и той же относительной погрешностью относительная погрешность произведения составляет .

Относительная погрешность степени . Равна . Относительная погрешность корня равна . При извлечении корня количество верных знаков сохраняется.

При вычислениях с помощью логарифмов следует брать таблицу логарифмов с числом десятичных знаков на единицу большим, чем требуемое число верных знаков результата.

3. Погрешности функции. Если значение аргумента является приближенным числом, но его погрешность , достаточно мала, то погрешность функции можно оценить по формуле

При вычислении приближенных значений функции спомощью степенного ряда целесообразно брать столько первых членов ряда, чтобы его остаток был того же порядка малости, что и

Погрешность таблично заданной функции f(x) дается формулой

.

где , , , и предполагается, что таблица функции с шагом h допускает линейную интерполяцию.

Погрешность функции нескольких переменных дается формулой

.

Если значения аргументов измерены непосредственно со средними квадратическими ошибками, , , …, , то средняя квадратическая ошибка функции равна

причем все частные производные берутся для средних значений аргументов, т. е. в точке , , …, . В частности, для функции вида

средняя квадратическая ошибка

и относительная ошибка

где (k = 1, 2, …, n)