ПРИЛОЖЕНИЕ. Многоканальная замкнутая СМО с простейшими потоками

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Многоканальная замкнутая СМО с простейшими потоками

Допустим, задана многоканальная замкнутая система массового обслуживания с неограниченным временем ожидания и с простейшими потоками. Эта система

наиболее полно соответствует действительности. Она характеризуется следующими особенностями:

• поступление требований в систему на обслуживание происходит по одному, то есть вероятность поступления двух и более требований в один момент времени очень мала, и ею можно пренебречь (поток требований ординарный);

• вероятность поступления последующих требований в любой момент времени не зависит от возможности поступления в предыдущие моменты – поток требований без последействия;

Функционирование многоканальной замкнутой системы массового обслуживания можно описать через все возможные ее состояния и через интенсивность перехода из одного состояния в другое.

Основными параметрами функционирования СМО являются вероятности состояния системы, то есть возможность наличия n требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок) в системе – Pn. Так, вероятность P0 характеризует состояние, когда в системе нет требований и все каналы обслуживания простаивают, Р1

– когда в системе находится только одно требование, и т.д

Важным параметром функционирования системы массового обслуживания является также среднее число требований, находящихся в системе (то есть в очереди и на обслуживании), Nsyst, и средняя длина очереди, Noch. Исходными параметрами, характеризующими систему массового обслуживания, являются:

• число каналов обслуживания (касс, компьютеров, подъемных кранов, ремонтных бригад) – N;

• число требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок) – m;

• интенсивность поступления одного требования на обслуживание (то есть число возвращений требования в единицу времени) – λ;

• интенсивность обслуживания требований – μ.

Интенсивность поступления на обслуживание одного требования определяется как величина, обратная времени возвращения требования в систему, – tp:

Интенсивность обслуживания требований определяется как величина, обратная времени обслуживания одного требования, – tо:

Рассмотрим сначала решение задачи аналитическим методом. Для этого представим все возможные состояния системы массового обслуживания в виде размеченного графа состояний (рис. 5.31). Каждый прямоугольник графа определяет одно из всех возможных состояний, количественно оцениваемое вероятностью состояний Pn. Стрелки на графе указывают, в какое состояние система может перейти и с какой интенсивностью. При этом в многоканальной СМО необходимо различать два случая:

• число требований n, поступивших в систему, меньше числа каналов обслуживания N, то есть все требования находятся на обслуживании (0 ≤ n < N);

• число требований n, поступивших в систему, больше или равно числу каналов обслуживания N (N ≤ n), то есть N требований обслуживаются, а остальные r ожидают в очереди (r = 1, 2, …, m – N).

Первый прямоугольник с вероятностью P0 определяет состояние системы массового обслуживания, при котором все каналы обслуживания простаивают изза отсутствия требований в ней. Из этого положения СМО может перейти тольков состояние P1

, и тогда в ней появится одно требование, так как входной поток требований ординарный. С интенсивностью μ система может перейти также из состояния P1 в состояние P0

, если единственное требование, находившееся в системе, было обслужено раньше, чем появилось новое, и т.д.

Ограничимся рассмотрением установившегося режима работы системы массового обслуживания, когда основные вероятностные характеристики СМО постоянны во

времени. Тогда интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы. Эти сбалансированные интенсивности перехода состояния в другие состояния и обратно выглядят так.

Обозначим величину λ / μ, как и раньше, через ψ и назовем ее коэффициентом загрузки.

Рассмотрим сначала первый случай, когда 0 ≤ n < N.

Из первого уравнения можно найти значение P1:

Аналогичные выражения можно получить и для других вероятностей состояний.

Анализируя полученные выражения, вычисляем рекуррентное выражение для определения вероятности состояния системы, когда число требований, находящихся

в системе, n, меньше числа каналов обслуживания, N:

Рассмотрим теперь второй случай, когда N ≤ n ≤ m. В этой ситуации рекуррентное выражение для определения вероятности состояния системы будет записано в таком виде:

Допустим, что наша система имеет два канала обслуживания: N = 2. Интервал времени между поступлениями двух смежных требований составляет 10 мин.

Среднее время обслуживания требования составляет 2 мин. Число обслуживаемых машин m равно 5. Требуется определить вероятность отсутствия требований в системе:

Допустим, нам надо промоделировать работу многоканальной системы массового обслуживания – замкнутой с экспоненциальным законом поступления требований на обслуживание (лифты–пассажиры, экскаваторы–автосамосвалы, программы–

ЭВМ и т.д.), – для которой справедливы следующие условия:

• поступление одного требования в систему на обслуживание не зависит от поступления другого (отсутствие последействия);

• в систему одновременно никогда не поступает два или более требований (поток ординарный);

• вероятность поступления требований зависит только от продолжительности периода наблюдений (поток требований стационарный), а не от принятого начала отсчета времени.

Известно среднее время поступления требования на обслуживание, равное 10 мин, которое подчиняется экспоненциальному распределению вероятностей. В системе массового обслуживания имеется три канала обслуживания.

Требуется смоделировать процесс функционирования системы и определить следующие основные ее характеристики:

• коэффициент использования каждого канала обслуживания;

• среднее время использования каждого канала обслуживания;

• число входов в каждый канал обслуживания;

• среднее время пребывания требования в накопителе;

Изобразим графически процесс функционирования трехканальной замкнутой системы массового обслуживания

На рис. 5.32 представлены основные события, которые возникают в процессе работы СМО.

Охарактеризуем каждое событие, возникшее в моделируемой системе:

3. Передача требования в один из свободных каналов обслуживания (TRANSFER).

4. Ожидание освобождения одного из каналов обслуживания (SEIZE).

6. Время обслуживания требования в канале обслуживания (ADVANCE).

Создание имитационной модели начнем с построения заголовка модели, который

может быть представлен, например, в таком виде

Программу работы СМО можно представить в виде трех секторов.

В первом секторе указывается вместимость СМО. Это можно выполнить с помощью оператора STORAGE (Накопитель), который в нашем примере будет выглядеть так:

Во втором секторе будем моделировать поток требований в систему и его обслуживание. Оператор GENERATE используем для формирования числа машин, которые обслуживает канал обслуживания. Этот режим использования оператора GENERATE предполагает, что поля А, В, С остаются пустыми, то есть ставятся соответственно три запятые, затем в поле операнда D указывается число машин, которые должны обслуживать каналы обслуживания:

Далее машины поступают в канал обслуживания. При этом поток поступления машин на обслуживание простейший со средним интервалом 10 единиц времени. Это можно представить с помощью оператора ADVANCE, который в нашей задаче будет записан так:

Сбор статистической информации для многоканальной системы можно обеспечить с помощью операторов ENTER и LEAVE. Оператор ENTER может быть записан в таком виде:

В поле операнда А указано имя накопителя, вместимость которого должна быть заранее определена. Поскольку СМО многоканальная, то необходимо использовать оператор TRANSFER для обеспечения возможности направления требований к незанятому каналу:

Сначала требование направляется к оператору, имеющему символическую метку KAN1. Этим оператором является SEIZE, который записывается так:

Eсли канал обслуживания с символьной меткой KAN1 занят, то требование направляется к следующему каналу, перешагивая через три оператора. 3 – это число, указанное в поле операнда D в операторе TRANSFER. Таким образом, следующим оператором будет:

Если и он будет занят, то требование снова перешагнет через три оператора и т.д., пока не найдется незанятый канал обслуживания. В свободном канале обслуживания требование будет обслужено. Но предварительно требование должно запомнить канал, в который оно попало на обслуживание. Для этого используется оператор ASSIGN (Присвоить) – с его помощью в параметре требования под номером 1 запоминается имя канала, в который требование пошло на обслуживание.

В каждом канале имеется свой оператор ASSIGN. Например, для первого канала это присвоение будет выглядеть так:

Далее, после определения свободного канала и записи его имени с помощью оператора TRANSFER требование направляется на обслуживание. Это выглядит так:

Однако перед началом обслуживания должно быть подано сообщение о том, что требование оставило накопитель под именем NAK, в котором оно находилось. Это

После выхода из накопителя требование поступает в канал на обслуживание.

Это действие выполняется с помощью оператора ADVANCE. Время обслуживания определяется так:

После обслуживания требование выходит из канала обслуживания, и должен появиться сигнал о его освобождении. Это делается с помощью оператора RELEASE (Освободить):

Параметр требования под номером P1 содержит имя освобождаемого канала обслуживания. Далее требование входит в оператор TRANSFER с безусловным переходом для возвращения в систему. Он записывается так:

Таким образом, машины после обслуживания снова возвращаются в систему для обслуживания. Возвращение машин в систему выполняется до тех пор, пока время моделирования не превысит время моделирования системы. Определение времени моделирования системы выполняется в третьем секторе модели. Оно определяется с помощью простой модели измерения времени, состоящей из трех операторов:

Этот сектор моделирует время работы системы в течение рабочей смены, равной 480 мин.

Для представления имитационной модели выполните следующие действия:

• щелкните по пункту File главного меню системы. Появится выпадающее меню;

• щелкните по пункту New (Создать) выпадающего меню. Появится диалоговое окно Новый документ;

• выделите пункт Model и щелкните по кнопке ОК. Появится окно модели, в котором введите данную программу. Оно будет выглядеть так, как показано на рис. 5.33

Чтобы вызвать окно для представления имитационной модели в системе

GPSSW, можно также нажать комбинацию клавиш Ctrl+Alt+S.

Перед началом моделирования можно установить вывод тех параметров, которые

необходимо получить в процессе моделирования. Для этого:

• щелкните по пункту Edit (Правка) главного меню системы или нажмите комбинацию клавиш Alt+E. Появится выпадающее меню;

• щелкните по пункту Settings (Установки) выпадающего меню. Появится диалоговое окно SETTINGS для данной модели, в котором можно установить нужные выходные данные. Для нашего примера это окно может выглядеть так, как показано на рис. 5.34.

Наличие галочки в окошках говорит о том, что эта информация будет выведена в окне результатов моделирования. В нашем примере будет выведена информация для следующих объектов:

После создания имитационной модели необходимо ее оттранслировать и запустить на выполнение. Для этого:

• щелкните по пункту Command главного меню системы или нажмите комбинацию клавиш Alt+C. Появится выпадающее меню;

• щелкните по пункту Create Simulation (Создать выполняемую модель) выпадающего меню.

Так как в модели есть управляющая команда START, то исходная имитационная модель будет транслироваться, и если в ней нет ошибок, то начнется процесс моделирования системы.

После выполнения программы появится окно с информацией о трансляции и выполнении – JOURNAL – и результаты работы программы в окне REPORT (рис. 5.35).

Ниже указываются результаты моделирования для всех трех каналов обслуживания (FACILITY) соответственно под именами CAN1, CAN2, CAN3:

• UTIL. (Коэффициент использования) – 0.674, 0.580, 0.433;

• AVE. TIME (Среднее время обслуживания) – 1.984, 2.192, 2.119;

Ниже указываются результаты функционирования накопителя (STORAGE)