Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Еще раз об обратной матрице
|
|
Если квадратная матрица 
имеет второй или третий порядок, то обратную к ней найти очень просто. Это можно сделать практически устно, используя алгебраические дополнения. Если же матрица имеет более высокий порядок, то алгебраические дополнения устно считать уже затруднительно, да и количество их растет. Например, для вычисления обратной к матрице четвертого порядка надо найти один определитель четвертого порядка и 16 определителей третьего. Разберем сейчас ещё один способ вычисления обратной матрицы.
Пусть – невырожденная квадратная матрица 
-го порядка. Обратную к ней можно найти как решение матричного уравнения
. (2.26)
Обозначим 
-йстолбец матрицы 
, 
– -столбец матрицы 
, 
. Тогда уравнение (2.26) можно преобразовать так:
{(2.26)} 
{ 
} { 
} { 
}.
Таким образом, матричное уравнение (2.26) равносильно системе
(2.27)
состоящей из систем линейных уравнений с одной и той же невырожденной матрицей . Каждую из этих систем можно решить методом Гаусса, приводя элементарными преобразованиями над строками (или методом опорного элемента) матрицу к единичной (столбец при этом переходит в некоторый столбец 
):
{ 
} { 
} { 
}.
Тогда 
.
Так как в (2.27) все системы имеют одну и ту же матрицу, то нет необходимости преобразовывать отдельно расширенную матрицу каждой из этих систем, а можно это сделать вместе, записав матрицу 
и преобразовывая сразу и матрицу , и все столбцы .
Из вышесказанного вытекает правило нахождения обратной матрицы: записываем расширенную матрицу 
и, применяя элементарные преобразования только к строкам, приводим матрицу к единичной. При этом матрица приводится к 
: 
.
Пример. С помощью элементарных преобразований найдем обратную к матрице
.
▼
.
Таким образом,
.▲
|
|