Метод Гаусса решения системы линейных уравнений

Теорема 2.7. С помощью элементарных преобразований только над строками и перестановки столбцов любая ненулевая матрица может быть приведена к простейшему виду, т. е. к виду, когда в ее левом верхнем углу находится единичная матрица, а последние строки полностью состоят из нулей.

► Пусть задана ненулевая матрица

(верхний индекс будет обозначать номер шага). Предположим, например, что . Если это не так, выберем какой-либо отличный от нуля элемент, назовем его опорным (или разрешающим), и с помощью перестановки строк и столбцов переместим этот элемент в левый верхний угол. Разделив первую строку матрицы А на , получим матрицу

,

которую, в свою очередь, преобразуем так: к i -й строке прибавим первую, умноженную на . Тогда матрица перейдет в следующую:

,

где – некоторые числа. Если какая-либо из строк матрицы полностью состоит из нулей, мы ее переставим на последнее место.

Выберем теперь среди чисел , отличное от нуля и переместим его опять же с помощью перестановки строк и столбцов во вторую строку и второй столбец. Теперь , и мы можем разделить на него вторую строку. Получаем новую матрицу

,

строки которой, в том числе и первую, преобразуем так: к i -й строке прибавляем вторую, умноженную на . Тогда переходит в следующую матрицу:

.

Теперь выбираем отличный от нуля элемент в последних -х строках, переставляем его в третью строку и третий столбец, и процесс повторяем. Преобразования продолжаем до тех пор, пока не окажется, что все последние строки состоят из одних нулей. Полученная матрица и будет матрицей простейшего вида.◄

Замечание. На самом деле перестановкой столбцов мы заниматься не будем. Базисный минор вовсе не обязательно перемещать в первые столбцы и приводить к виду единичной матрицы, достаточно, чтобы в каждом из его столбцов был единственный отличный от нуля элемент. Кроме того, чтобы избежать дробей, строчки также не будем делить на опорный элемент. При переходе от каждой матрицы к следующей поступаем так:

а) выбираем опорный элемент в тех строках и столбцах, которые опорными еще не были;

б) опорную строку оставляем без изменений, опорный столбец дополняем нулями;

в) предыдущие опорные столбцы умножаем на новый опорный элемент;

г) остальные элементы пересчитываем по правилу прямоугольника:

, т. е. как определитель второго порядка, у которого главной является диагональ, содержащая опорный элемент.