Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Критерий совместности системы линейных уравнений
|
|
Теорема 2.5 (Кронекера – Капелли или критерий совместности системы линейных уравнений). Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы 
.
► Пусть задана система линейных уравнений
(2.16)
с матрицей А. Будем обозначать 
j -й столбец матрицы А. Система (2.16) может быть записана следующим образом:
(2.17)
Необходимость. Дано: система совместна. Следовательно, существует упорядоченный набор чисел 
такой, что
Получаем: 
[прибавляем к последнему столбцу 
] 
Достаточность. Дано: 
. Предположим, что базисный минор матрицы A расположен в первых r столбцах. Этот же минор является базисным и для матрицы Ã: он отличен от нуля и его порядок равен r. По теореме о базисном миноре r первых столбцов матрицы Ã линейно независимы, а остальные, в том числе и В, можно через них выразить, т. е. существует такой упорядоченный набор чисел 
, что 
. Итак, упорядоченный набор 
удовлетворяет уравнению (2.17), значит, является решением системы (2.16).◄
|
|