Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Ранг матрицы. Определение.Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров
|
|
Определение.Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Ранг нулевой матрицы по определению равен нулю. Ранг матрицы будем обозначать так: 
.
Замечание. Если все миноры k -го порядка матрицы А равны нулю, то все ее миноры (k + 1)-го порядка тоже равны нулю. Таким образом, если 
, это значит, что у матрицы А есть отличный от нуля минор r -гопорядка, а все ее миноры (r + 1)-го порядка равны нулю.
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) умножение строк и столбцов на число, отличное от 0;
2) прибавление к какой либо строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число;
3) перестановка строк или столбцов.
Лемма 2.2. Последнее элементарное преобразование может быть получено последовательным применением первых двух
► Докажем утверждение для строк матрицы. Будем, как и раньше, обозначать сокращенно 
i -ю строку матрицы А.
.
Аналогично утверждение доказывается и для столбцов.◄
Теорема 2.2. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
► Для первого элементарного преобразования утверждение, очевидно, выполняется, так как ранг матрицы зависит от того, будет ли минор равен нулю или нет. А это свойство минора не изменится при умножении строки или столбца на число, отличное от нуля. Если утверждение справедливо для второго преобразования, то его справедливость для третьего вытекает из доказанной леммы.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Зарегистрироваться и Начать продвижение
Доказательство проведем для строк матрицы А (для столбцов оно будет аналогичным). Обозначим 
матрицу, полученную из 
прибавлением к i -й строке k -й строки, умноженной на число 
.
.
Пусть . Надо доказать, что и 
. Разобьем доказательство на две части.
1. Покажем, что матрица имеет отличный от нуля минор r -го порядка.
а) Матрица А имеет отличный от нуля минор r -го порядка, не содержащий i -й строки. Этот же минор является и минором матрицы .
б) Все миноры r -го порядка матрицы А, не содержащие i -й строки, равны нулю. Пусть 
– отличный от нуля минор r -го порядка матрицы А. Рассмотрим минор 
матрицы , расположенный в тех же строках и столбцах.
(2.5)
(волна указывает, что эти строки короче, они содержат только те элементы, которые принадлежат выделенным столбцам). В равенстве (2.5) определитель 
равен нулю, так как при 
, это минор матрицы А, не содержащий i -й строки, а при 
, это определитель, имеющий две одинаковые строки. Таким образом, 
.
2. Покажем, что все миноры (r +1)-го порядка матрицы равны нулю.
а) Минор (r + 1)-го порядка матрицы не содержит i -й строки. Он является одновременно и минором матрицы А, а значит, равен нулю.
б) Минор 
(r + 1)-го порядка матрицы содержит i -ю строку. Тогда
. (2.6)
В равенстве (2.6) 
– минор (r + 1)-го порядка матрицы А и поэтому равен нулю. Что касается определителя 
, то при 
он содержит две одинаковые строки, а при 
- это минор (r + 1)-го порядка матрицы А, а значит, в обоих случаях = 0.◄
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно. Зарегистрироваться в сервисе
|
|