Конструирование Архимедового усеченного икосаэдра из Платонового икосаэдра

Если у каждой вершины икосаэдра отрезать (отсечь) 12 частей икосаэдра плоскостью, то образуется 12 новых пятиугольных граней. Вместе с уже имеющимися 20 гранями, превратившимися после такого отсечения из треугольных в шестиугольные, они составят 32 грани усеченного икосаэдра. При этом ребер будет 90, а вершин 60.

Числа Фибоначчи

В 13-м веке знаменитый итальянский математик Фибоначчи при решении «задачи о размножении кроликов» открывает широко известную числовую последовательность Фибоначчи

n- й член которой задается следующим рекуррентным соотношением:

При начальных членах

рекуррентное соотношение (2) порождает ряд Фибоначчи (1).

«Божественная пропорция» Луки Пачоли

Огромный вклад в развитие «Теории Золотого Сечения» внес знаменитый итальянский математик и ученый монах Лука Пачоли (1445-1517), друг и советник Леонардо да Винчи. В эпоху Возрождения Лука Пачоли пишет первое в истории науки математическое сочинение о Золотой Пропорции, названное им «De Divina Proportione» («О Божественной Пропорции») и опубликованное в 1509 г. Книга состоит из трех частей: в первой части излагаются свойства золотого сечения, вторая часть посвящена правильным многогранникам, третья – приложениям золотого сечения в архитектуре. В этой книге Пачоли, апеллируя к «Государству», «Законам», «Тимею» Платона, последовательно выводит 12 (!) различных свойств золотого сечения. Характеризуя эти свойства, Пачоли пользуется весьма сильными эпитетами: «исключительное», «превосходнейшее», «замечательное», «почти сверхъестественное» и т.п. Раскрывая данную пропорцию в качестве универсального отношения, выражающего и в природе и в искусстве совершенство красоты, он называет ее «божественной» и склонен рассматривать ее как «орудие мышления», «эстетический канон», «как принцип мира и природы». Эта книга является одним из первых математических сочинений, в котором христианская доктрина о Боге как творце Вселенной получает научное обоснование. Пачоли называет золотое сечение «божественным» и выделяет ряд свойств золотой пропорции, которые, по его мнению, присущи самому Богу.

Леонардо да Винчи и Золотое Сечение

Каждый образованный человек независимо от того, какую профессию он избрал, знает или хотя бы слышал об одном из самых замечательных периодов в истории человечества, об эпохе Ренессанса – великом времени Возрождения. Эпоха Возрождения ассоциируется с именами таких «титанов», как Леонардо да Винчи, Микеланджело, Рафаэль, Николай Коперник, Альберт Дюрер, Лука Пачоли. И первое место в этом списке по праву занимает Леонардо да Винчи, величайший художник, инженер и ученый эпохи Возрождения. Как подчеркивает в своих «Жизнеописаниях» знаменитый итальянский историк искусства, архитектор и художник Джорджо Вазари, «...дивным и божественным был Леонардо, сын Пьеро из Винчи, и он достиг бы великих итогов в науках и письменности, не будь он таким многосторонним и непостоянным».

Имеется много авторитетных свидетельств о том, что именно Леонардо да Винчи был одним из первых, кто ввел сам термин «Золотое Сечение». Белорусский философ Эдуард Сороко, который считается одним из наиболее авторитетных ученых в области «Теории гармонии и Золотого Сечения», в своей замечательной книге «Структурная гармония систем» [75] пишет по этому поводу следующее: «Термин «золотое сечение» (aurea sectio) идет от Клавдия Птолемея, который дал это название числу 0, 618, убедившись в том, что рост человека правильного телосложения естественно делится именно в таком отношении. Закрепился же данный термин и стал популярным благодаря Леонардо да Винчи, который часто его использовал».

Доказано, что во многих своих произведениях Леонардо да Винчи использовал пропорции золотого сечения, в частности, в своей всемирно известной фреске «Тайная вечеря» и непревзойденной «Джоконде».

Для самого Леонардо да Винчи искусство и наука были связаны неразрывно. Отдавая в «споре искусств» пальму первенства живописи, Леонардо да Винчи понимал её как универсальный язык (подобный математике в сфере наук), который воплощает посредством пропорций и перспективы все многообразные проявления разумного начала, царящего в природе. Важнейшим источником для изучения воззрений Леонардо да Винчи по теории искусства являются его записные книжки и рукописи (около 7 тыс. листов). Сам Леонардо не оставил систематического изложения своих мыслей. «Трактат о живописи», составленный после смерти Леонардо да Винчи его учеником Ф. Мельци и оказавший огромное влияние на европейскую художественную практику и теоретическую мысль, состоял из отрывков, во многом произвольно извлечённых из контекста его записок. В «Трактате о живописи» излагаются сведения о пропорциях. В эпоху Возрождения математическое понятие — «Золотая Пропорция» было возведено в ранг главного эстетического принципа. Разрабатывая правила изображения человеческой фигуры, Леонардо да Винчи пытался на основе литературных сведений древности восстановить так называемый «квадрат древних». Он выполнил рисунок, в котором показано, что размах вытянутых в сторону рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат и в круг («Витрувийский человек» Леонардо да Винчи).

Но наиболее ярким свидетельством огромной роли Леонардо да Винчи в развитии теории Золотого Сечения является его влияние на творчество выдающегося итальянского математика эпохи Возрождения Луки Пачоли, с которым он сблизился в Милане. Считается, что именно под влиянием Леонардо да Винчи Лука Пачоли начинает писать свою знаменитую книгу «О божественной пропорции». Для этой книги Леонардо сделал иллюстрации. Об авторстве Леонардо сохранилось свидетельство самого Пачоли: «...таковые были сделаны достойнейшим живописцем, перспективистом, архитектором, музыкантом и всеми совершенствами одаренным Леонардо да Винчи, флорентийцем, в городе Милане...»

Таким образом, несомненно, что именно Леонардо да Винчи более чем кто-либо своими исследованиями способствовал тому, чтобы «Золотое Сечение» вошло в культуру Возрождения и стало ее главным эстетическим каноном. Есть все основания назвать Леонардо «крестным отцом» Золотого Сечения в европейской культуре. Именно Леонардо да Винчи, а вслед за ним Лука Пачоли, возможно, первыми в истории науки поняли роль этой уникальной пропорции в структурах Природы.

Вклад Кеплера в теорию Золотого Сечения

Гениальный астроном Иоганн Кеплер (1571-1630) был последовательным приверженцем Золотого Сечения, Платоновых тел и Пифагорейской доктрины о числовой гармонии Мироздания. Свое восхищение Золотым Сечением Кеплер выразил в словах:

«В геометрии существует два сокровища – теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

Считается, что именно Кеплер обратил внимание на ботаническую закономерность филлотаксиса и установил связь между числами Фибоначчи и золотой пропорцией, доказав, что последовательность отношений соседних чисел Фибоначчи:

(4)

в пределе стремится к золотой пропорции, то есть

(5)

Формула Кассини

В 17-м веке числа Фибоначчи привлекают внимание многих знаменитых ученых. Именно в этот период современник Кеплера, известный астроном Джованни Кассини (1625-1712) доказывает замечательное тождество, связывающее три соседних числа Фибоначчи:

(6)

Формула (6) называется формулой Кассини [65]. Эта удивительная формула вызывает благоговейный трепет, если представить себе, что она справедлива для любого значения n =0, ± 1, ± 2, ± 3, …, и истинное эстетическое наслаждение, потому что чередование +1 и –1 в указанном выше математическом выражении при последовательном прохождении всех чисел Фибоначчи от -¥ до +¥ вызывает неосознанное чувство ритма и гармонии.

Кеплер завершает эпоху «научного романтизма», характерного для эпохи Возрождения, эпоху гармонии и золотого сечения. Но с другой стороны, его научные сочинения стали началом новейшей науки, развитие которой началось с трудов Рене Декарта, Галилео Галилея и Исаака Ньютона.

Со смертью Кеплера забывают о золотом сечении, одном из «сокровищ геометрии», которое Кеплер поставил в один ряд с теоремой Пифагора. И это странное забвение продолжается почти два столетия. Интерес к золотому сечению вновь возрождается только в 19-м столетии.

Вклад Люка в теорию Золотого Сечения

Начиная с 19 в., математические работы, посвященные свойствам чисел Фибоначчи, по остроумному выражению одного математика «начали размножаться как фибоначчиевые кролики». Лидером этих исследований в 19-м веке стал французский математик Люка (1842-1891). Заслуга Люка перед теорией чисел Фибоначчи состоит в том, что он впервые ввел в широкое употребление само название числа Фибоначчи и кроме того ввел в рассмотрение так называемые обобщенные числа Фибоначчи, описываемые следующей рекуррентной формулой:

В зависимости от начальных членов G (1), G (2) рекуррентная формула (7) порождает бесконечное количество числовых последовательностей, подобных классическим числам Фибоначчи (1). Из всех возможных последовательностей, порождаемых (7), наибольшее применение получили две числовые последовательности – числа Фибоначчи F (n), задаваемые (2), (3) и так называемые числа Люка L (n), которые задаются следующим рекуррентным соотношением:

при начальных значениях:

.

Тогда, используя рекуррентную формулу (8) и начальные условия (9), мы можем вычислить числовую последовательность, называемую числами Люка:

...

Формулы Бине

В 19-м веке было сделано одно из наиболее важных математических открытий в области «Теории Золотого Сечения», а именно, открыты две математические формулы, связывающие золотую пропорцию t с числами Фибоначчи и Люка:

(11)

(12)

Эти формулы широко известны и называются формулами Бине в честь французского математика 19-го века Жака Филлипа Мари Бине (1786 — 1856), который первым вывел эти формулы.

Анализ формул (11), (12) дает нам возможность ощутить истинное «эстетическое наслаждение» и еще раз убедиться в мощи человеческого разума. Действительно, ведь мы знаем, что числа Фибоначчи и числа Люка всегда являются целыми числами. С другой стороны, любая степень золотой пропорции является иррациональным числом. Отсюда вытекает, что целые числа F (n) и L (n)с помощью формул (11), (12) выражаются через степени золотой пропорции, которые являются иррациональными числами.

Например, число Люка 3 (n= 2) согласно (12) может быть представлено как сумма двух иррациональных чисел:

,

а число Фибоначчи 5 (n= 5) согласно (11) может быть выражено следующим образом:

,

то есть, представляет собой сумму двух иррациональных чисел, деленную на иррациональное число .

Из исследователей 19-го века необходимо отметить работы немецкого ученого Цейзинга, который в своих «гармонических» исследованиях вновь открывает «Закон Золотого Сечения», называя его «Законом Всеобщей Пропорциональности». На рубеже 19-го и 20-го веков создатель психофизики Фехнер проводит свои знаменитые «Опыты Фехнера», которые убедительно показывают предпочтение «Золотой Пропорции» в психофизической деятельности человека.

Развитие Золотого Сечения и его приложений в первой половине 20-го века

В 20-м веке интерес к золотому сечению возрастает с новой силой, прежде всего в искусствоведческой сфере. В первой половине 20-го века были опубликовано ряд важных статей и книг, показывающих фундаментальную роль Золотого Сечения в структурах Природы и Искусства. В 1925 г. российский музыковед Сабанеев опубликовал статью «Этюды Шопена в освещении золотого сечения». В этой статье он показывает, что отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые так называемыми «кульминационными событиями», или «вехами», как правило, находятся в соотношении золотого сечения. Анализ огромного числа музыкальных произведений позволил Сабанееву сделать вывод о том, что организация музыкального произведения построена так, что его кардинальные части, разделенные «вехами», образуют ряды золотого сечения. Такая организация произведения соответствует наиболее экономному восприятию массы отношений в музыкальном произведении и поэтому производит впечатление наивысшей «стройности» формы. По мнению Сабанеева, количество и частота использования золотого сечения в музыкальной композиции зависит от «ранга композитора». Наиболее высокий процент совпадений отмечается у гениальных композиторов, то есть «интуиция формы и стройности, как это и следует ожидать, наиболее сильна у гениев первого класса».

По наблюдениям Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, сопряженное с происходящим возле него «эстетическим событием», а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений; количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%, Шуберта (91%) и др.

В 1935 г. российский профессор архитектуры Г.Д. Гримм опубликовал книгу «Пропорциональность в архитектуре» [76]. Цель книги сформулирована во «Введении» следующим образом: «Ввиду исключительного значения золотого сечения в смысле такого пропорционального деления, которое устанавливает постоянную связь между целым и его частями, и дает постоянное между ними соотношение, недостигаемое никаким другим делением, схема, основанная на нем, выдвигается как нормативная на первое место и принята нами в дальнейшем как при проверке основ пропорциональности исторических памятников, так и современных сооружений... Считаясь с этим общим значением золотого сечения во всех проявлениях архитектурной мысли, теорию пропорциональности, основанную на делении целого на пропорциональные части, отвечающие членам геометрической прогрессии золотого сечения, следует признать основой архитектурной пропорциональности вообще».

Гримм анализирует огромное количество памятников архитектуры различных эпох и различных стилей и убедительно показывает наличие в них золотого сечения.

Большую известность получила книга французского исследователя Матилы Гика «Эстетика пропорций в Природе и Искусстве». На русском языке эта книга была опубликована в 1936 г. [77]. Как и Гримм, Гика рассматривает в книге проблему архитектурных пропорций с геометрической точки зрения и развивает так называемую «эстетическую геометрию». Он анализирует линейные пропорции, правильные и полуправильные многоугольники и многогранники, а также различные точечные решетки, составляющие основу кристаллографии.

В первой половине 20-го века «Принцип Золотого Сечения» получает неожиданное применение в экономической науке. В этот период американский бухгалтер и экономист Ральф Эллиотт развил оригинальную теорию, которая имеет отношение к колебанием цен на фондовом рынке. Эти исследования получили в современной науке название Волны Эллиотта. По мнению Эллиотта, человек является природным объектом ничуть не меньше, чем Солнце или Луна, и его деятельность, выраженная языком цифр, также является предметом анализа. Человеческая деятельность, хотя и является поразительной по своей сути, при рассмотрении с точки зрения ритмических процессов содержит точный и понятный ответ на некоторые наши самые ошеломительные проблемы. Основная идея Эллиотта выражена в следующих словах: «Все человеческие действия имеют три особенности, модель, время и отношение, все они подчиняются числам Фибоначчи».

Брошюра Н.Н. Воробьева «Числа Фибоначчи»

Во второй половине 20-го века возрастает интерес к числам Фибоначчи и Золотого Сечения в математике.Огромное влияние на привлечение интереса математиков к этой проблеме оказала небольшая брошюра русского математика Н.Н. Воробьева «Числа Фибоначчи» [78], первое издание которой вышло в 1961 г. Брошюра выдержала большое количество изданий и переведена на многие языки мира.