Новая теория чисел

Основания классической теории чисел

Как известно, «число» является наиболее важным понятием математики, а теория чисел является одной из древнейших математических теорий. И если математику называют «царицей науки», то теорию чисел называют «царицей математики». На первых этапах развития математики развитие понятия числа было связано с практическими потребностями человека в счете и измерении. Затем число становится основным понятием математики и дальнейшее развитие этого понятия в значительной степени определяется внутренними потребностями развития математики.

Исторически первым возникло понятие натурального числа. Его введение было связано с практической потребностью в счете предметов. Выдающаяся, фундаментальная роль натуральных чисел в развитии математики выражена в следующих словах знаменитого математика Леопольда Кронекера (1823-1891): «Бог создал натуральные числа, все прочее – творение человека».

Но что такое «натуральное число»? Впервые строгое определение этого понятия было дано в Началах Евклида. Евклид рассматривал все числа как геометрические отрезки, и такой подход привел его к следующему геометрическому определению натурального числа. Вообразим, что мы имеем бесконечное количество «эталонных отрезков» длины 1. Евклид называл их «монадами» и не считал «монаду» за число. Это было просто «начало всех чисел». Итак, пусть мы имеем бесконечное множество S «монад», то есть

Тогда натуральное число N определятся как некоторый отрезок, представляющий сумму «эталонных отрезков», взятых из множества (90), то есть,

Несмотря на предельную простоту такого определения, оно сыграло большую роль в математике и лежит в основе многих полезных математических понятий, например, понятий четного и нечетного, простого и составного числа, а также понятия «делимости», которое является одним из главных понятий теории чисел.

Конструктивное определение действительного числа

Возникает вопрос, а существует ли строгое математическое определение понятия «действительное число»? Оказывается, существует. Известно, например, так называемое «конструктивное определение» действительного числа, основанное на его представлении в двоичной системе счисления:

,

(93)

где a_iÎ {0, 1} и i = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Определение действительного числа, задаваемое (93), имеет следующую геометрическую интерпретацию. Пусть задано бесконечное множество «двоичных» отрезков:

где i = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …. Тогда «конструктивными» действительными числами называются все геометрические отрезки, которые могут быть представлены в виде конечной суммы (93), состоящей из любой комбинации «двоичных» отрезков, взятых по одному из (94).

Заметим, что количество членов, входящих в сумму (94), всегда конечно, но потенциально неограниченно.

Ясно, что определение (93) задает на числовой оси только часть действительных чисел, которые могут быть представлены в виде конечной суммы (93). Такие числа мы будем называть конструктивными. Все остальные действительные числа, которые не могут быть представлены в виде конечной суммы (93), являются неконструктивными. Какие же числа относятся к «неконструктивным» в рамках определения (93)? Ясно, что это, прежде всего, все иррациональные числа, в частности, главные математические константы p и е, число , «золотая пропорция» и т.д. Но в рамках определения (93) к разряду «неконструктивных» мы должны отнести и некоторые «рациональные» числа (например, 2/3, 3/7 и т.д.), известные под названием периодических дробей.

Заметим, что хотя определение (93) значительно ограничивает множество действительных чисел, это никак не умаляет его значение с «практической», вычислительной точки зрения. Легко доказать, что любое «неконструктивное» действительное число может быть представлено в виде (93) приближенно, причем ошибка приближения D будет неограниченно уменьшаться по мере увеличения числа членов в (93), однако D ¹ 0 для «неконструктивных» действительных чисел. По существу, в современных компьютерах мы пользуемся только «конструктивными» числами, задаваемыми (93), и это нас вполне устраивает, потому что любое «неконструктивное» число может быть представлено в виде (93) с погрешностью, потенциально стремящейся к 0.

Определение Ньютона

В течение многих тысячелетий математики развивали и уточняли понятие числа. В 17-м веке в период зарождения современной науки и математики, разрабатывается ряд методов изучения непрерывных процессов и понятие действительного числа вновь выходит на передний план. Наиболее отчетливо новое определение этого понятия дается одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном в его «Всеобщей Арифметике»:

«Под числами мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу».

Эта формулировка дает нам единое определение действительного числа, рационального или иррационального. Если теперь рассмотреть «Евклидово определение числа» (91) с точки зрения «определения Ньютона», то в качестве «другой величины того же рода, принятой за единицу», выступает «монада». В двоичной системе счисления (93) роль «единицы», играет число 2, то есть основание системы счисления.

Система счисления Бергмана

В 1957 г. американский математик Джордж Бергман опубликовал статью «A number system with an irrational base» [88] в известном математическом журнале Mathematics Magazine. В этой статье автор предложил весьма необычное расширение понятия позиционной системы счисления. Он предложил использовать в качестве основания системы счисления золотую пропорцию , которая обладает математическим свойством (21). Если теперь использовать последовательность чисел t ⁱ {i=0, ±1, ±2, ±3, …} в качестве «весов разрядов» некоторой двоичной системы счисления, использующей двоичные цифры 0 и 1, то мы получим «двоичную» (то есть использующую цифры 0 и 1) систему счисления, имеющую иррациональное основание t. Система счисления Бергмана может быть задана в виде следующего математического выражения:

(95)

где А – некоторое действительное число, a_i – двоичные цифры 0 или 1, i = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …, t ⁱ – вес i-й цифры в системе счисления (95), t — основание системы счисления.

На первый взгляд кажется, что «система Бергмана» не представляет собой ничего особенного по сравнению с традиционной двоичной системой счисления (93), но это далеко не так. Суть математического открытия Бергмана состоит именно в том, что основанием системы счисления является золотая пропорция , что порождает ряд весьма интересных математических свойств данной системы, о которых будет сказано ниже.

Любопытно отметить, что к своему математическому открытию Джордж Бергман пришел в весьма юном возрасте, когда ему было всего лишь 12 лет! Несмотря на молодость автора, его статья, как упоминалось, была опубликована в весьма престижном американском математическом журнале «Mathematics Magazine», и по этому поводу широко известный публицистический журнал «Times» даже опубликовал даже интервью с юным математическим дарованием Америки. В настоящее время Джордж Бергман работает профессором кафедры математики University of California (USA). Он является соавтором двух математических книг «An Invitation to General Algebra and Universal Constructions» (1998) и «Co-groups and Co-rings in Categories of Associative Rings» (1996), а также автором многих статей в области дискретной математики. Сейчас трудно сказать: имеют ли математические работы Бергмана большее значение, чем его оригинальная система счисления, которую он изобрел в юном возрасте. Несомненно одно. Имя американского математика Джорджа Бергмана широко известно в современной науке, прежде всего, благодаря его уникальной системе позиционного представления чисел.

Коды золотой пропорции

В 1984 г. издательство «Радио и связь» (Москва) опубликовало книгу автора «Коды золотой пропорции» [10]. В этой книге была изложена теория более общего, чем система Бергмана, класса систем счисления, которые задаются следующим математическим выражением:

,

(96)

где a_i — двоичная цифра i-го разряда позиционного представления (96), t _p – золотая р-пропорция, которая является основанием системы счисления (96), - вес i-го разряда позиционного представления (96), i = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ….

Отметим, что выражение (96) задает бесконечное число «двоичных» (то есть использующих цифры 0 и 1) позиционных представлений, так каждому р (р=0, 1, 2, 3, …) соответствует свое позиционное представление (96). В частности, при р=0 основание t _р=2 и позиционное представление (96) сводится к классической двоичной системе счисления (93). При р=1 t _р= и позиционное представление (96) сводится к системе счисления Бергмана (95). Наконец, при р® ¥ золотая р-пропорция t _р ® 1, а это означает, что для этого предельного случая позиционное представление (96) сводится к Евклидовому определению (92).

Заметим, что система счисления Бергмана (95) и ее обобщение (96) при р > 0 образуют новый класс позиционных систем счисления – системы счисления с иррациональными основаниями.

Системы счисления с иррациональными основаниями с точки зрения «определения Ньютона»

В статье [39] изложен новый подход к геометрическому определению действительного числа, основанный на использовании введенного выше понятия кода золотой пропорции (96). Рассмотрим бесконечное множество «эталонных отрезков», основанных на «золотой p-пропорции» t _p:

Gp ={ };

(97)

где n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, …; — степени «золотой p-пропорции», связанные между собой соотношением (60).

Множество (97) «порождает» введенный выше код золотой р-пропорции (96). Код золотой пропорции (96) задает новое определение действительного числа, которое, как было установлено выше, сводится к классической двоичной системе счисления (93) при р=0, к системе счисления Бергмана (95) и, наконец, к Евклидовому определению (92) при р® ¥.

Конструктивные действительные числа

Как упоминалось, система счисления Бергмана (95) и код золотой р-пропорции (96) разделяют все действительные числа на два непересекающихся подмножества: конструктивные и неконструктивные действительные числа. К разряду конструктивных относятся все действительные числа, которые могут быть представлены в виде конечной суммы типа (96). Возникает вопрос, какие действительные числа являются «конструктивными» в смысле (96)? Прежде всего, к разряду «»конструктивных» чисел в смысле (96) относится число t _р, являющееся основанием системы счисления (96):

Любопытно отметить, что основание любой из систем счисления (96) изображается традиционно, то есть, как основание классической двоичной системы счисления (93):

что является частным случаем выражения (98) при р=0.

К разряду «конструктивных» относятся также все степени «золотой пропорции», например,

t _р³ = 1000; t _р² = 100; t _р^-1 = 0, 1; t _р^-2 = 0, 01.

и все их суммы, например,

t _р⁵ + t _р¹ + t _р⁰ + t _р^-2 + t _р^-4 = 100011, 0101.

Представление натуральных чисел в системах счисления с иррациональными основаниями

Однако, наиболее неожиданным результатом теории систем счисления с иррациональными основаниями, задаваемыми (96), является установление следующего математического факта, доказанного в [39]: любое натуральное число является «конструктивным», то есть всегда может быть представлено в системе счисления Бергмана (95) и коде золотой р-пропорции (96) в виде конечной суммы степеней золотой пропорции, то есть каждому натуральному числу N соответствует некоторый полином, представляющий собой конечную сумму степеней золотой р-пропорции!

Это означает, что любое натуральное число N может быть представлено в виде:

(100)

где a_i — двоичные коэффициенты, причем число членов в полиноме (100) является конечным для любого натурального N.

Например, число 10 (основание десятичной системы) в системе счисления Бергмана представляется в виде следующего полинома:

И подобных полиномов существует бесконечное число! Ясно, что выражение (100) имеет глубокое теоретико-числовое содержание и представляет собой, возможно, самое неожиданное свойство системы Бергмана (95) и кодов золотой р-пропорции (96).

А теперь возвратимся на 2, 5 тысячелетия назад и представим себе реакцию пифагорейцев на этот результат. Согласно главной доктрине пифагорейцев «Все есть число», в основе мироздания лежат натуральные числа и их отношения, так как любую вещь в природе можно выразить как отношение двух натуральных чисел (хотя после открытия «несоизмеримых отрезков» это утверждение, строго говоря, уже не соответствовало представлениям пифагорейцев). Но мы только что показали, что любое натуральное число может быть выражено через золотую пропорцию и ее обобщение — золотую р-пропорцию! Из этого рассуждения с необходимостью вытекает новая доктрина, которую пифагорейцы безоговорочно приняли, если бы знали о системе Бергмана (95) и коде золотой р-пропорции (96): «Все есть золотая пропорция!» или даже «Все есть золотая р-пропорция!».

Таким образом, из проведенных выше рассуждений мы можем заключить, что в случае системы счисления Бергмана (95) и кода золотой р-пропорции (96) мы имеем дело с совершенно уникальными позиционными системами, системами счисления с иррациональными основаниями, которые переворачивает наши представления о системах счисления, более того, наши представления о соотношении между рациональными и иррациональными числами. Как известно, исторически первыми возникли числа натуральные, за ними – числа рациональные, как отношения натуральных чисел, и затем, после открытия «несоизмеримых отрезков», — числа иррациональные, которые не могут быть представлены в виде отношения двух натуральных чисел. Но в системах счисления (95), (96) все получается как бы наоборот. Исходным числом систем счисления (95), (96), ее основанием, являются классическая золотая пропорция t = или золотая р-пропорция t _p, которые вытекают из геометрических определений (54), (55), то есть основание систем счисления (95), (96) вытекает из геометрических соотношений. А затем из этих чисел, согласно позиционному принципу, могут быть сконструированы все действительные числа (включая натуральные). Таким образом, систему счисления Бергмана (95) и коды золотой р-пропорции (96) можно рассматривать как новое определение действительного числа – и этот вывод может иметь далеко идущие последствия для теории чисел и всей математики!

Такой подход сразу же вызывает к жизни новую теорию чисел, основанную на золотых р-пропорциях. И в этой «новой теории чисел» могут быть получены далеко не тривиальные теоретико-числовые результаты. Одним из таких свойств является так называемое Z-свойство натуральных чисел.

Z-свойство натуральных чисел

В «теории золотого сечения» [78-80] известна следующая удивительная формула, связывающая степени золотой пропорции с числами Фибоначчи F_n и числами Люка L_n:

.

(102)

где n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,....

Применяя эту формулу к выражению

,

(103)

которое задает представление натурального числа N в системе счисления Бергмана, после проведения несложных преобразований мы получим:

N = (A + B ),

(104)

где

A = ;

(105)

B = .

(106)

Запишем теперь выражение (104) в виде:

2 N = A + B .

(107)

Заметим, что двоичные цифры a_i в выражениях (105), (106) всегда совпадают с соответствующими двоичными цифрами в выражении (103).

Рассмотрим теперь выражение (107). Это выражение весьма необычное. Действительно, поскольку числа Фибоначчи и числа Люка всегда являются целыми числами, то любая сумма этих чисел типа (105), (106), взятых с двоичными коэффициентами 0 и 1, всегда будет целым числом. Но тогда согласно (107) целое число 2N (то есть четное число) тождественно равно сумме целого числа A, задаваемого (105), и произведению целого числа B, задаваемого (106), на иррациональное число . И это тождество согласно (107) должно выполняться для любого натурального числа N! Возникает вопрос: при каких условиях это тождество верно в общем случае? Ответ очень простой: это возможно только в том случае, если член A является четным числом, равным 2N, а член B всегда тождественно равен 0, то есть:

A = = 2 N;

(108)

B = = 0.

(109)

Тождество (109), полученное в результате проведенных рассуждений, задает новое свойство натуральных чисел, называемое Z-свойством. Суть этого свойства мы сформулируем в виде следующей теоремы, доказанной в [39].

Теорема 1 (Z-свойство натуральных чисел). Если представить некоторое натуральное число N в виде (103), а затем в полученном выражении заменить каждую степень золотой пропорции t ⁱ соответствующим числом Фибоначчи F_i (i=0, ± 1, ± 2, ± 3, …}, то возникающая при этом сумма (106) тождественно равна нулю независимо от исходного числа N.

Заметим, что это свойство справедливо только для натуральных чисел, то есть наши достаточно элементарные рассуждения привели нас к открытию нового свойства натуральных чисел. И в основе этого открытия лежит система счисления (105), введенная юным американским математиком Бергманом в 1957 г.!

Не исключено, что некоторые «математические снобы» отнесутся достаточно скептически к этому «открытию» в силу предельной «элементарности» его доказательства. Но ведь доказательство «несоизмеримых отрезков» тоже кажется нам сейчас настолько элементарным, что оно доступно каждому школьнику. Тем не менее, мы до сих пор не перестаем удивляться прозорливости Пифагора, который сделал это доказательство впервые и с помощью этого «элементарного» открытия ввел в математику иррациональные числа. Как известно, открытие «несоизмеримых отрезков» и иррациональных чисел считается одним из крупнейших математических открытий античной математики!

Стахов А.П.

Гармония Мироздания и Золотое Сечение:
древнейшая научная парадигма
и ее роль в современной науке,
математике и образовании.