Золотые» гиперболические модели Природы

Гиперболические функции Фибоначчи и Люка

Открытие глубокой связи между гиперболическими функциями и числами Фибоначчи и Люка можно считать одним из важнейших математических достижений современной «теории чисел Фибоначчи». Впервые на эту связь обратил известный английский математик Стефан Вайда в своей замечательной книге [80], опубликованной в 1989 г. Независимо друг от друга к этой идее подошли украинский архитектор Олег Боднар [81] и украинские математики А.П. Стахов и И.С. Ткаченко [36]. Строгая математическая теория гиперболических функций Фибоначчи и Люка впервые изложена в статье Стахова и Ткаченко [37], опубликованной в 1993 г. в книгах А.П. Стахова [17, 18], опубликованных в 2003 г. Дальнейшее развитие эта теория получила в статье Стахова и Розина [49], опубликованной в 2005 г.

Как упоминалось выше, одним из важнейших математических открытий в «Теории Золотого Сечения» являются формулы Бине (11), (12), связывающие золотую пропорцию с числами Фибоначчи и Люка. Эти формулы по своей структуре аналогичны гиперболическому синусу и косинусу. Именно развитие этой аналогии и привело Стахова и Ткаченко [17, 18] к введению нового класса гиперболических функций, названных гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка.

Гиперболический синус и косинус Фибоначчи (Стахов, Ткаченко, 1993):

(24)

Гиперболический синус и косинус Люка (Стахов, Ткаченко, 1993):

(25)

Заметим, что для дискретных значений переменной x=k фибоначчиевые и люковые гиперболические функции (24)-(25) совпадают с числами Фибоначчи и числами Люка, причем

где дискретная перменная k принимает свои значения из множества: 0, ±1, ±2, ±3,....

В работе [49] введен новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка, названных в [49] симметричными гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка.

Симметричный гиперболический синус и косинус Фибоначчи

(Стахов, Розин, 2005):

;

(27)

Симметричный гиперболический синус и косинус Люка

(Стахов, Розин, 2005):

(28)

где t = .

Числа Фибоначчи и Люка однозначно определяются через симметричные фибоначчиевые синусы и косинусы следующим образом:

;

(29)

Необходимо отметить, что согласно (29) числам Фибоначчи с четными номерами всегда соответствует симметричный фибоначчиевый синус sFs(x), а с нечетными номерами – симметричный фибоначчиевый косинус cFs(x), в то время как числам Люка с четными номерами всегда соответствует симметричный люковый косинус cLs(x), а с нечетными номерами – симметричный люковый косинус sLs(x).

Введенные выше симметричные гиперболические функции Фибоначчи и Люка связаны между собой следующими простыми соотношениями:

;

(30)

Вдумаемся теперь в соотношения (26), (30). Эти соотношения показывают, что числа Фибоначчи и числа Люка являются частными («дискретными») случаями гиперболических функций Фибоначчи и Люка, которые в «дискретных точках» 0, ±1, ±2, ±3,.... совпадают с числами Фибоначчи и Люка. Самое любопытное состоит в том, что любое «непрерывное» тождество для гиперболических функций Фибоначчи и Люка превращается в соответствующее «дискретное» тождество для чисел Фибоначчи путем простой подстановки x=k, где k = 0, ±1, ±2, ±3,.... Это означает, что «дискретная» до сих пор «теория чисел Фибоначчи» как бы «вырождается», так как она заменяется теперь более общей, «непрерывной» теорией гиперболических функций Фибоначчи и Люка. А это, в свою очередь, означает, что математикам-фибоначчистам надо «сушить весла» и искать другое приложение своих талантов, так как созданная ими «теория чисел Фибоначчи» [78-80] просто становится частным случаем более общей «теории гиперболических функций Фибоначчи и Люка». А если говорить серьезно, то введение гиперболических функций Фибоначчи и Люка переводит «теорию чисел Фибоначчи» на новый уровень развития.

Геометрия Боднара

Как известно, числа Фибоначчи и Люка составляют основу так называемого «закона филлотаксиса» [81]. Согласно этому закону число левых и правых спиралей на поверхности так называемых филлотаксисных объектов (сосновой шишки, ананаса, кактуса, головки подсолнечника и т.д.) описывается отношениями соседних чисел Фибоначчи, то есть:

(31)

.

Эти отношения характеризуют «симметрию» филлотаксисного объекта. При этом, для каждого филлотаксисного объекта характерно свое отношение соседних чисел Фибоначчи из (31), которое называется порядком симметрии.

Наблюдая филлотаксисные объекты в завершенном состоянии и наслаждаясь упорядоченным рисунком на его поверхности, мы всегда задаем себе вопрос: как в процессе роста на его поверхности формируется фибоначчиевая решетка? Эта проблема и составляет основу загадки филлотаксиса, которая представляет собой одну из наиболее интригующих загадок ботаники. Суть ее состоит в том, что у большинства видов биоформ в процессе роста происходит изменение порядков симметрии, задаваемых (31). Известно, например, что головки подсолнечника, находящиеся на разных уровнях одного и того же стебля, имеют разные порядки симметрии: чем старше диск, тем выше порядок его симметрии. Это означает, что в процессе роста происходит закономерное изменение (возрастание) порядка симметрии и это изменение симметрии осуществляется по закону:

(32)

Изменение порядков симметрии филлотаксисных объектов в соответствии с (32) называется динамической симметрией [81]. Ряд ученых, исследовавших эту проблему, предполагают, что явление филлотаксиса имеет фундаментальное междисциплинарное значение. Например, по мнению В.И. Вернадского, проблема биологической симметрии является ключевой проблемой биологии.

Итак, явление динамической симметрии (32) обнаруживает свою особую роль в геометрической проблеме филлотаксиса. Напрашивается предположение, что за числовой закономерностью (32) кроются определенные геометрические законы, которые, возможно, и составляют суть секрета ростового механизма филлотаксиса и их раскрытие имело бы важное значение для разрешения проблемы филлотаксиса в целом. Эта фундаментальная проблема и была решена украинским исследователем Олегом Боднаром [81]. Боднару удалось построить оригинальную геометрическую теорию филлотаксиса, в основе которой лежит предположение, что геометрия филлотаксисных объектов является гиперболической, а изменение порядков симметрии филлотаксисного объекта в процессе своего роста основывается на гиперболическом повороте, который является основным преобразующим движением гиперболической геометрии. При этом главная особенность «геометрии Боднара» состоит в том, что для описания математических соотношений новой геометрии он использовал так называемые «золотые» гиперболические функции, которые совпадают с симметричными гиперболическими функциями Фибоначчи и Люка с точностью до постоянных коэффициентов.

Таким образом, «геометрия Боднара» является блестящим примером эффективного применения гиперболических функций Фибоначчи и Люка для моделирования процессов роста филлотаксисных объектов, то есть гиперболические функции Фибоначчи и Люка являются новыми и весьма эффективными математическими моделями той части биологического мира, который имеет отношение к явлению филлотаксиса.

Золотой Шофар

Изучение симметричных гиперболических функций Фибоначчи, задаваемых (27), привело к открытию следующей функции 2-го порядка [50]:

+ z2 = .

(33)

Эта функция может быть представлена в терминах симметричных гиперболических функций Фибоначчи (27):

z² = [cFs(x) – y][sFs(x) + y].

Ниже в 3-мерном пространстве представлена поверхность 2-го порядка, основанная на функции (33). Такая поверхность названа в [50] Золотым Шофаром. В переводе с Иврита слово «Шофар» означает горн как символ силы и могущества. В Шофар трубят в Судный День (Йом Кипур).

Золотой Шофар

Математическая модель «гиперболической Вселенной» с «шофароподобной» топологией

В 2004 г. опубликована сенсационная статья [82] космологического характера. На основе экспериментальных данных, полученных в 2003 с помощью NASA's Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) в статье [82] выдвинута новая гипотеза о структуре Вселенной. В соответствии с этой гипотезой геометрия Вселенной является гиперболической, а Вселенная по своей форме напоминает горн или трубу с расширяющимся раструбом.

В этой связи Алексеем Стаховым и Борисом Розиным была опубликована статья «Золотые» гиперболические модели Природы [67], в которой высказана гипотеза о том, что Вселенная имеет «шофароподобную» топологию.

Золотое сечение, и связанные с ним числа Фибоначчи, отображают гармонию Вселенной, как единение частей в целом. С другой стороны в работах [17, 18, 37, 49] было показано, что рекуррентные последовательности Фибоначчи порождают новый класс гиперболических функций обладающих не только всеми свойствами классических гиперболических функций, но и рекуррентными свойствами.

Этот синтез гармонии, рекурсии и гиперболических функций в статье [67] названо золотым гиперболическим подходом. Гиперболичность Вселенной является наиболее ярким свидетельством ее математической гармонии – это главный итог исследований, изложенных в работах [17, 18, 37, 49, 50, 67, 81].