Элементы дифференциальной геометрии.

Углом смежности дуги плоской линии называют угол j между касательными, проведёнными к этой линии на концах дуги. Отношение угла смежности j к длине дуги S называют средней кривизной дуги . Кривизной линии в данной точке называют предел средней кривизны при неограниченном сближении концов дуги . (Очевидно, что кривизна прямой равна 0, окружности (радиуса r) ). Если линия задана своим уравнением , то в полярных координатах: , параметрически: Радиусом кривизны называют величину, обратную кривизне: ; окружностью кривизны данной линии в точке В предельную окружность проходящую через точки А, В, С кривой при и Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны, а центр этой окружности называют центром кривизны. (Он находится на нормали к линии в точке В в сторону вогнутости линии).

Координаты и h центра кривизны линии определяются соотношениями и =у+ . Геометрическое место центров кривизны линии называют её эволютой.

Если кривые и имеют общую точку М(х₀, у₀), а касательные к ним в этой точке не совпадают, т.е. , но , то говорят, что кривые пересекаются в этой точке. Если кривые имеют общую точку и касательные к ним в этой точке совпадают, т.е. и , то говорят, что кривые касаются в точке М. Если же в общей для кривых точке равны все их производные до порядка n включительно, то говорят, что кривые имеют касание n -го порядка. (Если , то кривые имеют в этой точке общую касательную и одинаковую кривизну).

Пространственную кривую можно задать параметрическими уравнениями (пример - параметрические уравнения прямой в разделе 1.7.1) или векторным уравнением . Это уравнение задаёт как вектор - функцию скалярного аргумента t, т.е. Соответствующую кривую называют годографом вектора .

Производная вектор - функции по скалярному аргументу t - новая вектор- функция, определяемая равенством и может вычисляться по формуле . Она определяет вектор, направленный по касательной к годографу в сторону возрастания параметра t. (Если t - время, то - скорость, а - ускорение конца вектора).

Правила дифференцирования вектор - функции скалярного аргумента:

1. Если , то .

2. Если - постоянный вектор, то .

3. Если (скалярная функция t), то .

4. .

5. .

Уравнения касательной к кривой вточке М₀(х₀, у₀, z₀)

имеют вид: , где - производные функций в точке .

Уравнение нормальной плоскости, проходящей через точку касания перпендикулярно касательной, имеет вид:

Дифференциал дуги пространственной кривой .

В произвольной точке пространственной кривой можно провести три ортогональных единичных вектора: касательной , главной нормали и бинормали (им соответствуют вектора касательной бинормали и главной нормали ).

Плоскость, содержащую и называют соприкасающейся, содержащую и - нормальной, и - спрямляющей. Трёхгранник с вершиной в точке М, образованный этими тремя плоскостями, называют сопровождающимтрёхгранником пространственной кривой. Её кривизной в точке М называют число , где - угол поворота касательной (угол смежности) на дуге - длина этой дуги. .

Кручением кривой в точке М называют число , где - угол поворота бинормали (угол смежности второго рода) на дуге

Контрольные вопросы.

1) Что называют углом смежности дуги плоской линии?

2) Какую величину называют радиусом кривизны, окружностью кривизны, центром кривизны?

3) Что является вектором – функцией скалярного аргумента?

4) Как выглядит уравнение касательной и кривой в точке М₀ (х₀; у₀; z₀)?

5) Что называют кручением кривой в точке?