Основные теоремы о пределах.

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных, т.е.

2. Предел произведения определенного числа переменнных равен произведению пределов этих переменных, т.е.

3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е. если lim V ¹ 0.

3. Если для соответствующих значений функций u = u(x), z = z(x), v = v(x) выполняются неравенства u £ z £ v и при этом u(x) и v(x) при х ® а (или х ® ¥ ) стремятся к одному и тому же пределу b, то z = z(x) при х ® а (или х ® ¥) стремится к тому же пределу.

Теорема 4 позволяет доказать справедливость важного соотношения, называемого первым замечательным пределом. (3.1)

Из (3.1) следует эквивалентность бесконечно малых х и sin x: sin x ~x.

Удобно пояснить это графически. На рис. 3.3 приведены графики функций у = х и у = sinх. Легко видеть, что чем меньше х отличается от нуля, тем меньше отличие ординат (значений функций) соответствующих графиков, а при х = 0 они совпадают. (Это позволяет с высокой точностью при очень малых х определять приближенное значение sin x).

Еще одно важное соотношение теории пределов, называемое вторым замечательным пределом имеет вид: (3.2)

Число е – иррациональное (также как и число p) и может быть записано в виде бесконечной десятичной непериодической дроби е = 2, 71828…; играет важную роль в вычислительной математике, служа, в частности, основанием натурального логарифма, обозначаемого ln x = log_ex. Функцию у = е^х называют экспоненциальной функцией (иногда обозначается как ехр х). В решении задач теории пределов могут быть полезны следующие равенства: . Можно также заменять бесконечно малые величины эквивалентными им:

Непрерывность функций. Функцию у = f(х) называют непрерывной в точке а если:

1.Эта функция определена в некоторой окрестности точки а и в самой точке;

2.Существует предел функции и он равен значению функции в этой точке, т.е. . Можно предложить и иное определение. Пусть аргумент х₀ получит приращение Dх и примет значение х = х₀ + Dх. В общем случае функция также получит некоторое приращение Dу = f(х₀ + Dх) – f(х₀).

Функцию f(х) называют непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и некоторой окрестности ее и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

Приведем формулировку теоремы: Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена и получим важное для решения задач теории пределов следствие. Запишем условие непрерывности в виде

или, что тоже самое,

. Но

и, следовательно,

(3.4), т.е. для любой непрерывной функции во всех точках области определения ее справедливо соотношение (3.4) – предел функции равен функции предела (символы (и соответствующие операции) предела и функции можно поменять местами):

В ряде случаев удобно использовать следующее соотношение:

Говорят, что если функция f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а, b), где a < b, то функция непрерывна на этом интервале. Точка внутри или на границе области определения, в которой нарушается условие непрерывности, называется точкой разрыва. Если существуют конечные пределы и , причем не все три числа b₁, b₂ и f(a) равны между собой, точка а называется точкой разрыва первого рода. Эти точки подразделяются на точки скачка, когда b₁¹ b₂ (скачок равен b₂- b₁) и точки устранимого разрыва, когда b₁= b₂. Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода. В этих точках не существует хотя бы один из односторонних пределов (Пример – “бесконечный” разрыв: ).

Рассмотрим некоторые свойства непрерывных функций (доказательства теорем можно найти в рекомендуемой литературе).

1. Если функция f(x) непрерывна на некотором отрезке [a, b], то на этом отрезке найдется по крайней мере одна точка х = х₁ такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x₁) ³ f(x), где х – любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х₂ такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению f(x₂) ≤ f(x).

f(x) на этом отрезке. Поясним с помощью рис. 3.4, на котором представлены графики трех непрерывных на [a, b] функций у₁, у₂ и у₃. Легко видеть, что на интервале [a, b] функция у₁ один раз достигает наибольшего М и наименьшего m значений. Функция у₂ во всех точках [a, b] имеет одно и то же значение – оно одновременно и наибольшее и наименьшее. Функция у₃ на [a, b] дважды принимает наибольшее М и наименьшее m значения. Но хоть один раз наибольшее и наименьшее значения принимает каждая из них!

(Отметим, что на интервале (а, b) утверждение теоремы может оказаться неверным. Пример: у = х – функция не имеет на интервале (а, b) наибольшего и наименьшего значений, т.к. не достигает значений а и b!)

3. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения f(a) = A и f(b) = B то, каково бы ни было число m, заключенное между числами А и В, найдется такая точка х = с, заключенная между a и b, что f(c) = m (легко видеть, что теорема 2 является частным случаем теоремы 3).

Следствие: Если функция f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает на нем наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключенное между ее наибольшим и наименьшим значениями.

1) Что называется пределом переменной, пределом функции?

2) Что называется бесконечно малой функцией?

3) Поясните графически первый замечательный предел?

4) Какая функция называется непрерывной в точке?

5) Какая точка называется точкой разрыва I рода, II рода (в чём отличие)?

6) Что является наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке?