Спектральні характеристики ФМ та ЧМ-сигналів

Оскільки аналітична форма ФМ та ЧМ-сигналів однакова то при спектральному розкладі розглянемо лише ФМ-сигнали для яких формулу (8.53) перетворимо наступним чином: . (8.54)

Вирази та , що входять до (8.54), є періодичним функціями з періодом і можуть бути розкладеними у ряд Фур’є. В теорії спеціальних функцій доводяться наступні співвідношення:

(8.55)

де – функція Бесселя першого типу - того порядку аргументу . З допомогою (8.55) співвідношеню (8.54) можна надати наступної форми

(8.56)

Після стандартних тригонометричних перетворень отримаємо

У теорії функцій Беселя показано, що функції з позитивними та від’ємними індексами пов’язані між собою співвідношеннями:

Враховуючи це математичній моделі ФМ-сигналу можна надати компактної форми:

. (8.57)

Останнє співвідношення представляє собою розклад ФМ-коливання на гармоніки при гармонічному законі модуляції з частотою . Доданок з є несуче коливання; група коливань з частотами - верхня бокова смуга частот; третя група доданків з частотами характеризує гармоніки нижньої бокової смуги частот.

Таким чином, спектр фазово - модульованих коливань містить. нескінченно велику кількість бокових частот, які відстоять на від несучої частоти (рис.8.27).

Рис.8. 27

Теоретично він є нескінченно широким, але в дійсності на підставі деяких властивостей функцій Бесселя можна нехтувати всіма боковими частотами, у яких . Це дозволяє оцінювати практичну ширину спектру ФМ - коливань як

. (8.58)

Для малих значень індексу фазової модуляції () можна наближено записати

,

і, нехтувати всіма боковими частотами вище першої. Тоді вираз (8.57) істотно спрощується

Він вельми схожий на (8.41) для АМ - коливань і відрізняється від нього лише знаком у останньому члені., що вказує на додатковий фазовий зсув на 180⁰ нижнього бокового коливання

Оскільки аналітичні форми ФМ та ЧМ сигналів однакові, то усі зроблені вище висновки що до структури спектру ФМ - коливань залишаються придатними і для ЧМ коливань. Тільки замість індексу фазової модуляції стоїть індекс частотної модуляції, визначений вище. Так, наприклад, практична ширина спектру ЧМ - коливань буде

Як правило реальні ФМ та ЧМ-сигнали характеризуються умовою З цього, зокрема, випливає, що повна ширина спектру ЧМ та ФМ- коливань при значних індексах кутової модуляції дорівнює подвоєній девіації частоти :

Проте, необхідно мати на увазі, що ФМ та ЧМ-сигнали поводяться по різному при зміні частоти та амплітуди модулюючого сигналу.

При частотній модуляції: девіація частоти пропорційна амплітуді модулюючого сигналу, і не залежить від частоти модуляції, а індекс кутової модуляції обернено пропорційний частоті модуляції. Для випадку фазової модуляції девіація частоти прямо пропорційна частоті модулюючого сигналу, а індекс кутової модуляції не залежить від частоти і прямопропорційний амплітуді модулюючого коливання.

Ці відмінності у поведінці параметрів ФМ та ЧМ-сигналів у залежності від частоти модулюючого сигналу при сталій амплітуді показані на рис. 8.28.

Рис.8. 28

З цього, зокрема, випливає, що повна ширина спектру ЧМ – коливань на відміну від ФМ- коливань практично не залежить від частоти модуляції . При збільшенні індекс частотної модуляції змінюється обернено пропорційно , а ширина спектру згідно () практично залишається незмінною. Причому на АЧХ спектру гармоніки ’’розсовуються’’, а кількість гармонік, які необхідно брати до уваги зменшується. При ФМ-коливаннях індекс кутової модуляції не залежить від . Тому при збільшенні збільшується і ширина спектру.

У протилежному випадку () ширина спектру для обох типів модуляції складає - .

Основна перевага систем зв’язку з ФМ та ЧМ –сигналами - висока завадостійкість –проявляється при значних індексах кутової модуляції. Отже смуга частот, яку займають ФМ та ЧМ –сигнали, значно перевищує смугу частот при амплітудній модуляції. Тому частотну та фазову модуляції застосовують у відносно вільних діапазонах ультракоротких хвиль.