Теорема Пойтінга.

Помножимо () на , а () на і складемо їх

.

Отримане співвідношення і є теорема Пойтінга яка підтверджує справедливість закону збереження енергії у кожній точці лінії передачі у будь яку мить часу. Для лінії без втрат рівняння () набуває форми:

.

Хвилі у довгій лінії.

Переконаємося у тому, що рівняння () та () описують плоску хвилю напруги та струму, що поширюється у напрямку зростання координати . Для спрощення розглянемо лінію без втрат і припустимо, що у кожній точці між напругою та струмом має місце наступне співвідношення . Саме аналогічне співвідношення випливає з рівнянь Максвела для плоских поперечних електромагнітних хвиль як у вільному просторі так і у направляючих (спрямовуючих) системах, а величина називається хвильовим опором. Якщо взяти до уваги вище згадані припущення то рівняння () () набувають форми

,

.

Скористаємося операторним методом при нульових початкових умовах, що відповідає підключенню лінії до джерела коли та . Застосуємо перетворення Лапласа до лівої та правої частин рівняння ()

,

Тут - зображення від , тобто .

Розв’язок операторного рівняння дає зображення напруги , причому стала інтегрування є зображенням напруги, що прикладається до початку лінії . Тому зображення напруги у довільній точці лінії буде наступним . З допомогою теореми про запізнення знаходимо оригінал напруги у довільній точці довгої лінії (тут швидкість). Цей вираз показує, що збудження на початку лінії у довільній точці з’являється із запізненням на час поширення причому форма збудження зберігається. Саме така властивість притаманна хвилі.

Аналогічну форму має і хвиля струму

.

Розв’язок рівнянь такого типу легко отримати шляхом розділення змінних. Наприклад, для рівняння () запишемо - . Тоді рівняння () розпадається на два рівняння - і , розв’язок яких добре відомий:

та . Отже

.

Аналогічно для струму –

.

Оскільки відношення і не залежить від часу то повинна виконуватись рівність . Звідки хвильовий опір лінії –

. Запишемо вираз () у звичній формі (тут ) і підставивши у рівняння () отримаємо дисперсійне рівняння

.

Звідки знаходимо фазову швидкість поширення хвилі :

.

Для коаксіальної лінії передачі - .