Енергетичні характеристики сигналу у частотній області.

Зручним енергетичним параметром сигналу є його нормована енергія (або просто енергія), яка визначається як енергія, що виділяється на резисторі з опором в 1 Ом (тут напруга чи струм):

. (8.24)

Поняття енергії сигналу має сенс лише у тому випадку, коли інтеграл скінчений. Сигнали зі скінченою енергією називаються енергетичними (а також імпульсними). Для деяких сигналів (наприклад, періодичних) інтеграл (8.24) дорівнює нескінченості і поняття енергії втрачає сенс. В таких випадках розглядають середню в часі енергію, тобто потужність.

Якщо - перетворення Фур’є сигналу , то використовуючи формулу оберненого перетворення можна записати

Змінюючи порядок інтегрування в правій частині цього виразу, отримаємо

.

Внутрішній інтеграл у правій частині отриманого виразу дорівнює , тому

.

Оскільки для дійсної функції - , і є дійсною та парною функцією частоти то

. (8.25)

Отримане співвідношення установлює, що енергія сигналу дорівнює площі під кривою (інтегрування здійснюється по змінній ) і називається теоремою Парсеваля. Тут - спектральна щільність енергії, яка показує який внесок у загальну енергію сигналу дає ділянка частот від до . Зверніть увагу на те, що одиницею виміру спектральної щільності енергії є дж/гц. Необхідно також відмітити, що енергія зосереджена у складових як з додатними, так і від’ємними частотами. Більш того енергії на додатних і на від’ємних частотах рівні між собою, оскільки . Такий поділ енергії на енергію додатних та від’ємних частот вводиться заради зручності. Насправді сума енергій на додатних та від’ємних частотах дає повну енергію будь якої ділянки частотного діапазону.

Отже, можна вважати, що (половина енергії ) є енергією складових на додатних частотах, а інша половина - енергією на від’ємних частотах. Тому і називається спектром щільності енергії, оскільки характеризує енергію, що приходиться на одиницю смуги частот (додатної і від’ємної)

Якщо та відповідно вплив та відгук лінійної системи з передаточною характеристикою , то . Оскільки характеризує спектр щільності енергії впливу, а - аналогічна функція відгуку, то

. (8.26)

Приклад:

Енергію такого сигналу можна знайти безпосередньо:

.

На основі теореми Парсеваля знайдемо енергію сигналу, що припадає на діапазон частот від до :

.

Отже , а - . Енергія в діапазоні частот - . При граничній частоті - , що вдвічі менша від загальної енергії. В смузі частот - .

Такі оцінки дозволяють обмежити ширину спектру сигналу, а отже і смугу пропускання лінійної системи, при цьому енергія сигналу залишиться майже без зміни.

У випадку періодичних сигналів , і визначальним енергетичним параметром таких сигналів є середня потужність .

Середня потужність (або просто потужність) сигналу визначається як середня потужність, що виділяється на резисторі з опором в 1 ом при протіканні через нього струму (або при прикладенні до нього напруги ):

.

Утворимо нову функцію , обмеживши інтервалом . Таку обмежену функцію (рис.8.20) можна записати у вигляді

При скінченому функція має обмежену енергію. Нехай . Тоді енергія сигналу :

,

тому середня потужність

.

Із збільшенням інтервалу зростає енергія сигналу і величина , проте відношення може прагнути до певної межі. Нехай така межа існує, тоді спектр щільності потужності визначається як:

. (8.27)

Отже

. (8.28)

Із формули (8.27) випливає, що спектр щільності потужності є парною функцією частоти , тому формулу (6.28) можна записати у вигляді

. (8.29)

Спектр щільності потужності зберігає інформацію лише про амплітуди спектральних складових , інформація про фази втрачається. Звідси випливає, що усі сигнали з однаковим спектром амплітуд і різними спектрами фаз будуть мати однакові спектри щільності потужності.

Отже, даному сигналу відповідає єдиний спектр щільності потужності. Обернене твердження не вірне; може існувати значна кількість сигналів з одним і тим же спектром щільності потужності.

Можна показати, що спектри щільності потужності вихідного та вхідного сигналів пов’язані між собою співвідношенням:

, (8.30)

тут - передаточна характеристика електричного кола.

За відомим спектром щільності потужності вихідного сигналу можна відновити середнє значення квадрату вихідного сигналу, яке дорівнює площі, обмеженої графіком спектра щільності потужності вихідного сигналу, діленої на . Таким чином, середня потужність вихідного сигналу

. (8.31)

Ортогональність складових ряду Фур’є дозволяє отримати просту формулу для розрахунку потужності періодичного сигналу. Активна потужність, що виділяється на ділянці кола

,

де - фазовий зсув між -ми гармоніками напруги та струму.

Отже, середня потужність періодичного коливання дорівнює сумі середніх потужностей кожної гармонічної складової коливань.

Визначимо середню потужність сигналу (або просто потужність), як потужність що виділяється на резисторі з опором в 1 Ом (нормована енергія). Для нормованої енергії миттєва потужність або . Отже

. (8.32)

Останній вираз відомий під назвою рівність Парсеваля для періодичних сигналів.

Рівність Парсеваля дозволяє подати діючі значення періодичних напруги та струму у вигляді

, (8.33)

(8.34)

де , діючі значення k -ої гармоніки напруги та струму відповідно.

Знаючи амплітудний спектр та порівнюючи квадрати амплітуд окремих гармонік, можна оцінити розподіл загальної потужності сигналу по частотному діапазону.