Основні властивості перетворення Фур’є.

Перетворення Фур’є являється інструментом для подання функції часу у вигляді суперпозиції елементарних експоненціальних сигналів з різними частотами, тобто є одним із способів представлення функції. Отже відомі два способи опису функції - у частотній та часовій області. Вияснимо, як впливають деякі визначені дії над функцією в одній області, на її представлення в іншій. Наприклад, як пов’язані між собою спектри функції та її похідної, якщо функція диференцюється у часовій області, або що станеться з її спектром функції, якщо функцію зсунути у часі? У перетвореннях Фур’є існує певна симетрія. Тому слід очікувати що така симетрія повинна проявитися і у властивостях перетворень.

Переконаємося що це насправді так. Для зручності позначимо відповідність між двома областями подвійною стрілкою:

.

Останнє означає, що є пряме перетворення Фур’є , а є оберненим перетворенням Фур’є у відповідності із формулами (8.16) та (8.17).

Властивість лінійності.

Якщо , то при будь-яких довільних сталих - .

Доведення тривіальне.

Властивість симетрії.

Якщо , то .

Для доведення цієї властивості скористаємося формулами (8.16) та (8.17), із яких випливає, що . Оскільки у цьому інтегралі є довільною змінною то її замінимо на , тому . Замінимо на : . Замінимо тепер довільну змінну іншою змінною , і отримаємо - . Отже .

Якщо - парна функція, то і . Рисунок 8.15, на прикладі прямокутного імпульсу, ілюструє властивість симетрії перетворень Фур’є

Приклад.8.5. Знайти спектральну густину сталого сигналу: .

Рішення. Знайдемо спочатку спектральну густину функції (тут - дельта функція):

.

Скористаємося властивістю симетрії і парністю дельта функції:

.

Якщо у наведеному прикладі покласти , то - . Звідки -

. Таким чином ми отримали ще одну формулу для визначення дельта функції - .

Зміна часового масштабу.

Якщо , то для будь-якої дійсної сталої - .

Доведемо це для дійсної додатної сталої :

. Отже .

Аналогічно можна показати, що для - .

Таким чином, .

Функція представляє собою функцію , стиснену у часі в раз (мається на увазі, що , якщо , то функція розтягується в часі). Точно так функція представляє собою функцію , розтягнуту по шкалі частот в раз. Стиснена в часі функція змінюється в раз швидше отже, частоти її складових повинні в раз збільшитися.

На рисунку 8.16, на прикладі прямокутного імпульсу, продемонстрована ця властивість.

Властивість часового зсуву. Якщо , то .

Для доведення скористаємося безпосередньо прямим перетворенням Фур’є

.

Тобто, при затримці сигналу на час модуль його спектральної щільності не змінюється, а аргумент зменшується на величину . Насправді, зсув функції у часі означає зсув на кожної складової, а не інтенсивності самого сигналу. Зсув у часі на для складової з частотою еквівалентний фазовому зсуву на .

Диференціювання та інтегрування у часі. Якщо , то ,

та при умові, що при набуває скінченого значення. Це еквівалентно умові, що або .

Теореми про диференціювання та інтегрування у часі можна довести шляхом якісних міркувань. Перетворення Фур’є подає функцію у вигляді нескінченої суми експоненціальних функцій типу . Тому похідна від функції дорівнює неперервній сумі похідних окремих експоненціальних складових. Оскільки похідна від є , то процес диференціювання еквівалентний множенню на кожної експоненціальної складової. Отже,

.

Аналогічні міркування залишаються у силі і по відношенню до інтегрування.

Таким чином, можна зробити висновок, що диференціювання у часовій області еквівалентно множенню у частотній області на , а інтегрування у часовій області еквівалентно діленню у частотній області на . З допомогою теореми про диференціювання у часовій області можна отримати відносно просто перетворення Фур’є для деяких кусково-лінійних функцій.

Приклад.8.6. Знайти спектральну густину трикутного відео імпульсу (рис.8.17, а).

Рішення. Знайдемо графічно першу а потім другу похідну від сигналу (рис.8.17, б, в). У результаті отримаємо послідовність -функцій, перетворення Фур’є яких знайдено раніше. Із рис.8.17, в випливає, що

.

Перетворення Фур’є від -функції дорівнює одиниці, тому на основі теореми про запізнення маємо . Використовуючи цей результат та теорему про диференціювання у часовій області, отримаємо:

.

Звідки -

Властивість частотного зсуву. Якщо , то .

Насправді, .

Таким чином, зсув на в частотній області еквівалентний множенню на у часовій області. Очевидно, множення на переносить увесь спектр на частоту . Тому дана теорема відома також під назвою теореми про зміщення спектру.

Необхідність перенесення частотного спектру частот виникає в системах зв’язку. Зазвичай перенесення спектру здійснюється множенням сигналу на гармонічний сигнал. Цей процес відомий під назвою модуляція. Оскільки гармонічний сигнал можна виразити сумою експонент, очевидно, множення на гармонічний сигнал буде зміщувати увесь частотний спектр сигналу. Насправді

.

Якщо , то на основі теореми про зміщення спектру

.

Аналогічно можна показати, що

.

Тобто, під час модуляції здійснюється перенесення спектру на . Це вельми важливий результат для теорії зв’язку. На рис.8.18 показаний приклад перенесення спектру внаслідок модуляції. Розглянуту теорему часто називають також теоремою про модуляцію.

Рис.8. 18

Теорема про згортку.

У частотному аналізі теорема про згортку є одним із найбільш ефективних прийомів. Вона дозволяє легко отримати важливі результати. Згортку двох функцій та символічно записується у вигляді , тобто

.

Згортання у часі. Якщо та , то .

Покажемо, що це насправді так:

.

На основі властивості про зсув у часі інтеграл у квадратних дужках у правій частині цього виразу дорівнює . Отже

.

Згортання по частоті. Якщо та , то

.

Цю теорему можна довести аналогічно як і теорему про згортання у часі в силу симетрії прямого та оберненого перетворень Фур’є.

Таким чином, згортка двох функцій у часовій області еквівалентна множенню спектрів у частотній області, а множення двох функцій у часовій області еквівалентно згортці їх спектрів у частотній області.