Спектральний метод.

При динамічному представленні сигналів, коло характеризували імпульсною перехідною або перехідною характеристиками. Це дало нам змогу відносно просто знайти вихідний сигнал по відомому вхідному. Наприклад,

.

Проте вираз справа є не що інше як згортання двох функцій: вхідного сигналу та імпульсної перехідної характеристики кола. Застосуємо до правої та лівої частин пряме перетворення Фур’є і скористаємося теоремою про згортання:

,

де –

,

і називається передаточною характеристикою системи.

З передаточною характеристикою системи і пов’язаний спектральний метод, який годиться як для періодичних так і поодиноких сигналів. Суть цього методу:

а) для періодичних сигналів. Вхідний сигнал можна подати у вигляді суми експоненціальних сигналів з відповідними амплітудами та фазами, тобто розкласти у ряд Фур’є:

.

При проходженні через систему кожна гармоніка на виході набуває значення

.

Отже по відомих гармоніках вихідного сигналі з допомогою ряду Фур’є можемо відтворити вихідний сигнал:

.

б) для поодинокого імпульсу. Оскільки спектральна густина сигналу на виході - , то застосувавши обернене перетворення Фур’є маємо сигнал на виході:

.

Слід зауважити, що передаточна характеристика кола - це реакція кола на гармонічний сигнал. Таким чином використовуючи метод комплексних амплітуд для стаціонарного випадку можемо знайти передаточну характеристику кола, адже вона виявляється не що інше як комплексний коефіцієнт передачі.

Приклад.8.7. Знайти напругу на виході кола з передаточною характеристикою , при подачі на його вхід прямокутного імпульсу -

Рішення. Використовуючи формулу прямого перетворення Фур’є знайдемо спектральну густину вхідного сигналу .

Передаточна характеристика кола . Отже спектральна густина вихідного сигналу .

Скориставшись оберненим перетворенням Фур’є, знаходимо вихідний сигнал:

.

Відомо, що при умові, якщо корінь знаменника чисто уявний, тобто .

Скориставшись цим, знаходимо значення інтегралу на двох ділянках часового інтервалу

та .

, (8.18)

тут - функція Хевісайда. На рис.8.19 пунктирними лініями графічно показані доданки у формулі (8.18), а суцільною лінією форма вихідної напруги при .