Імпульсні та перехідні характеристики лінійних систем.

Перехідною характеристикою кола називається реакція кола на вхідний сигнал у вигляді функції Хевісайда (див. рис.8.4). Нехай коло стаціонарне, тобто якщо вхідний сигнал зсунутий у часі на величину то і вихідний сигнал з’явиться з точно таким же запізненням. Зокрема, якщо на вході існує сигнал то він породжує на виході сигнал

Чудова властивість лінійних систем - принцип суперпозиції - відкриває прямий шлях до систематичного розв’язку задач проходження різноманітних сигналів через такі системи. Оскільки вхідний сигнал можна подати у вигляді суперпозиції елементарних сходинок (8.1), то вихідний сигнал для стаціонарного кола буде такою ж лінійною комбінацією тільки вже перехідних характеристик. Тобто, якщо вхідний сигнал

,

то вихідним буде сигнал

. (8.3)

Формула (8.3) має фундаментальне значення в теорії лінійних систем і називається інтегралом Дюамеля.

Реакцію кола на вхідний сигнал у вигляді функції Дірака називають імпульсною перехідною характеристикою і позначають як (рис.8.5). Якщо врахувати, що коло стаціонарне і , то отримаємо

. (8.4)

Інтеграл (8.4) називається інтегралом згортки і використовується при знаходженні реакції кола на вплив довільної форми .

Таким чином, якщо відома імпульсна перехідна або перехідна характеристики кола то з допомогою інтегралу Дюамеля або інтегралу згортки можна знайти вихідний сигнал.

Перехідну та імпульсну перехідну характеристики конкретного кола можна без ускладнень знайти з допомогою операторного метода. Нехай , тоді , а зображення вихідної величини тоді буде дорівнювати . Тому - це оригінал останньої функції. Аналогічно при - , а , і обернене перетворення Лапласа дає . Таким чином імпульсна перехідна характеристика кола є оригіналом операторної передаточної функції .

Приклад 8.1. Знайти напругу на виході послідовного RC -ланцюка при подачі на його вхід лінійно зростаючої напруги. За вихідну напругу вважайте напругу на конденсаторі. Графік вхідної напруги наведений на рис.8.6.

Рішення. Скористаємося інтегралом Дюамеля. Оскільки при і при , то у будь­-якій точці при . Для знаходження перехідної характеристики кола скористаємося операторним методом. Операторний коефіцієнт передачі для заданого кола - (тут - постійна часу кола). Таким чином зображення перехідної характеристики буде рівним - . Для знаходження перехідної характеристики скористаємося другою фомулою Хевісайда: . Отже .

Підставимо отримані значення у інтеграл Дюамеля (8.3):

.

Обчислюємо інтеграл: .

Звідки - .

Графік залежності наведений на рис.8.6 Отже, з часом, напруга на конденсаторі наближається до лінійного закону, зсунутого у часі на величину відносно вхідної напруги.