Коефіцієнт кореляції. Кореляційні функції.

При вирішенні багатьох задач радіоелектроніки часто виникають питання такого плану:

1. Один сигнал перевищує інший. Що при цьому мається на увазі?

2. Чи можливо об’єктивно оцінювати наскільки схожі два сигнали?

Зміст питань такого характеру розкритий у векторній алгебрі. Нехай маємо два вектори та . Яку складову має вектор у напрямку вектора ? Складова у напрямку дорівнює . Тоді , де - вектор похибки (рис.8.7, а.) Проте це не єдиний спосіб знаходження складової вектора у певному напрямку (рис.8.7, б, рис.8.7, в.). Яка ж відмінність між запропонованими трьома способами подання вектора? Вектор похибки на рисунку 8.7, а виявляється найменшим. Тепер можна сформулювати кількісне визначення складової одного вектора у напрямку іншого Складова вектора у напрямку вектора визначається величиною , де підбирається так, щоб вектор похибки був мінімальним. Очевидно, що чим більша складова одного вектора на інший, тим менша відмінність у напрямках обох векторів і тим меншою буде вектор похибки а вказує на ступінь схожості двох векторів. При цьому . Якщо то говорять що вектори та ортогональні і незалежні (зовсім не схожі).

Аналогічні міркування будуть справедливі і до складової вектора у напрямку вектора : , де - .

Мірою схожості двох векторів вважають величину яка є середнім геометричним між та :

.

Очевидно, що величина С дорівнює косинусу кута між векторами і її модуль може знаходитися в межах від 0 до 1.

Поняття про схожість векторів та їх ортогональність можна застосувати і до сигналів. Розглянемо два сигнали та . Необхідно апроксимувати сигнал сигналом на заданому проміжку часу тобто . Як вибрати щоб апроксімація була найкращою? Очевидно так, щоб похибка між та була мінімальною: . Критерій мінімальності? Середнє значення на проміжку повинно бути мінімальним: . Проте такий критерій дозволяє значні додатні та від’ємні похибки, що можуть компенсувати друг друга і приводити до фальшивого результату. Наприклад, при апроксімації гармонічного сигналу функцією на інтервалі :

.

А хіба схожі ці два сигнали?

Тому для мінімізації відхилення одного сигналу від іншого запропонували використовувати середнє від квадрата похибки

Яким чином вибрати , щоб було мінімальним?

.

Звідси

.

Зверніть увагу на схожість формул для знаходження для векторів та функцій. По аналогії називається скалярним добутком двох функцій та . А коли їх скалярний добуток дорівнює нулеві то функції називаються ортогональними.

Можна апроксимувати сигнал сигналом на проміжку тобто . І якщо виберемо так, що

,

то середнє від квадрата похибки буде мінімальним.

Середнє геометричне від та є мірою схожості двох сигналів і називається коефіцієнтом кореляції :

. (8.5)

Скориставшись відомою нерівністю Коші-Буняковського , приходимо до висновку, що модуль коефіцієнта кореляції може лежати лише в інтервалі значень від 0 до 1.

Радикали, що стоять у знаменнику виразу (8.5) звуться нормами функцій та :

, .

Вони необхідні для того, щоб при порівнянні функцій та врахувати їх абсолютне значення і зрівняти їх за інтенсивністю. Якщо заздалегідь поділити функції та на їх норми, то одержимо нормовані значення цих функцій

.

Для нормованих сигналів коефіцієнт кореляції набуває вигляду

. (8.6)

У теорії сигналів велику роль відіграють автокореляційні функції (АКФ)

(8.7)

Зміст автокореляційної функції полягає у тому, що вона дає кількісну функціональну міру зміни самої функції за проміжок часу . Цілком очевидно, що .. Можна також довести, що , тобто АКФ завжди є парною функцією. Нормована АКФ може приймати значення від до . Значення вона набуває, якщо , тобто якщо при зсуві на функція дорівнює , але з протилежними знаком (так звана антикореляція).

Для періодичних функцій інтегрування слід проводити в межах періоду. Через ціле число періодів АКФ для періодичної функції завжди дорівнює одиниці: .

Так, наприклад, для гармонічної функції норма дорівнює , і нормована АКФ буде