Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Аналог формул Симпсона.






    а) Рассмотрим случай прямоугольной области D, заданной неравенствами . Подберем коэффициенты многочлена третьей степени

    P 3(x, y)= a 30 x 3+ a 21 x 2 y + a 12 xy 2+ a 03 y 3+ a 20 x 2+ a 11 xy + a 02 y 2+ a 10 x + a 01 y + a 00

    так чтобы в специальным образом выбранных пяти точках (узлах) значения функции f (x, y)и многочлена P 3(x, y)совпали. Тогда

    .

    Учитывая, что , если , получим формулу

    . (23)

    Если выбрать узлы так, как показано на рисунках 77 и 78, то формулу (23) можно записать соответственно в виде

    (24)

    или

    . (25)

    Для прямоугольника формулы (24) и (25) соответственно примут вид

    , (26)

    (27)

    Формулы (26) (27) тем точнее, чем меньше размеры прямоугольника; как следует из изложенного, они точны для многочленов третьей степени.

     

     

    б) Разбивая прямоугольник прямыми, параллельными осям координат, на 4mn равных прямоугольников, применяя к каждому такому прямоугольнику формулу (26) и суммируя полученные результаты, приходим к формуле

    , (28)

    где, S 0 =f (a, c)+ f (a, d)+ f (b, c)+ а (b, d),

    ,

    .

    Если в предыдущих рассуждениях использовать формулу (27), то

    , (29)

    где, ,

    .

    Формулы (25) – (28) дают точный результат, если подынтегральная функция является многочленом выше третьей степени от переменных x, y, т. е. .

    в) Пусть область D определена прямой x1=(x0+x2)/ 2, неравенствами

    . и линией . разобьем область D на четыре части. Обозначим . Как и ранее, f (xi, yij) =zij (i= 0, 1, 2). Рассмотрим .

    Применяя несколько раз малую формулу Симпсона, в результате получим следующее приближенное равенство:

    . (30)

    Заметим, что если , то формула (30) принимает вид

    . 31)

    В частности, формула (31) справедлива, если областью интегрирования D является прямоугольник со сторонами, параллельными осями координат. В этом случае

    . (32)

    Формула (30) дает точный результат, если подынтегральная функция является многочленом третьей степени относительно y при фиксированном x и результат вычисления внутреннего интеграла – многочленом не выше третьей степени по x. Формула (32) точна, если - многочлен третьей степени относительно x при фиксированном y (или относительно y при фиксированном x).

    г) Если областью интегрирования D является круг с центром в начале координат и радиусом r, то для приближенного вычисления двойного интеграла целесообразно перейти к полярным координатам:

    .

    Разделим прямоугольник в плоскости прямыми и на четыре равные части. Вычислив значение подынтегральной функции в узлах и применив последовательно формулы (24) и (26), соответственно получим

    , (33)

    , (34)

    где, - площадь круга. Формулы (33) и (34) точны, если - многочлен не выше третьей степени относительно и .

    Используя формулу (32), получим

    . (35)

    Эта формула точна, если функция является многочленом не выше третьей степени относительно при фиксированном (или относительно при фиксированном ).

    д) Если область интегрирования ограничена эллипсом , то с помощью преобразования координат по формулам двойной интеграл можно переписать так:

    .

    Формулы (24), (25) и (32) для такой области соответственно примут вид

    , (36)

    , (37)

    , (38)

    где - площадь эллипса.

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.