Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Формула Симпсона (парабол).
|
|
      y B
C
A
-h O h x
| Рассмотрим точки A (-h, y- 1), B (0, y 0), C (h, y 1). Уравнение параболы, проходящей через эти точки: y=a+bx+cx 2
(1) 
|
Площадь параболы, проходящей через точки A, B, и С вычисляется по формуле: 
(2).
Из (1), сложив первое и третье равенства, найдём: 
откуда 2 ch 2= y -1-2 y 0+ y 1 и тогда 
.
Рассмотрим теперь функцию y=f (x), заданную на [ a, b ]. Требуется вычислить 
Разобьём отрезок [ a, b ] на 2 n отрезков a=x 0< x 1< …< x 2 n=b. Заменим дугу кривой y=f (x) (
) параболой, проходящей через эти точки и тогда
         y C
B
A
y 0 y 1 y 2
O a=x 0 x 1 x 2 b=x 2 n x
| площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, будет вычисляться по формуле:  .
Вычислим площадь следующей криволинейной трапеции на [ x 2, x 4]:
 и так далее. Искомая площадь будет приближённо равна:
|
Оценка погрешности для формулы Симпсона (без вывода):
Пример 1. Найти приближённое значение интеграла 
с помощью квадратурных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона, если отрезок [0, 1] разбит на 10 равных частей.
Решение: 
.
При n =10 получим следующие оценки величин погрешности результатов:
Пример 2. Вычислить интеграл 
. по формуле Симпсона.
Решение: Возьмём 
.
.Тогда 
.
|
|