Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Формула прямоугольников.
|
|
Численное интегрирование.
Для приближённого вычисления определённого интеграла 
разобьём отрезок интегрирования [ a, b ] на n равных частей точками x0=a, x 1= x 0+ h, …, xi+ 1= xi+h, …, xn=b
(h - шаг разбиения, 
).Значения функции f (x) в точках разбиения xi обозначим yi. Непрерывная подинтегральная функция y=f (x) заменяется сплайном (кусочно-полиномиальной функцией) S (x), аппроксимирующей данную функцию. Интегрируя функцию на отрезке [ a, b ], придём к некоторой формуле численного интегрирования (квадратурной формуле).
В зависимости от функции S (x), аппроксимирующей подинтегральную функцию, будем получать различные квадратурные формулы.
Формула прямоугольников.
Если на каждой части 
[ xi- 1, xi ], i= 
деления отрезка [ a, b ] функцию f (x) заменить функцией, принимающей постоянное значение, равное, например, значению функции f (x) в серединной точке i -й части, то есть 
то функция S (x) будет иметь ступенчатый вид:
.
В этом случае 
и получаем квадратурную формулу прямоугольников
(1).
Пример. Найти приближённое значение интеграла 
по формуле прямоугольников.
Решение. Пусть n =10.Тогда x 0 = 0, 
…, x 10=1.
, 
= 
Погрешность квадратурной формулы оценивается величиной остаточного члена R (h), зависящего от шага разбиения h (или от числа разбиений n).
         y
f (0) f (h)
O a b x
| На одном (первом) отрезке разбиения имеем:  где 0£ с £ h.
Если  то  проинтегрируем неравенство на отрезке [0, h ]:
|
Но легко заметить, что 
тогда 
откуда (переходя от h к x) получим: 
, где 
, то есть, уже на всем отрезке [ a, b ]. Таким образом получаем общую погрешность на [ a, b ]
(так как hn= b - a).
|
|