Необходимые условия экстремума в простейшей вариационной задаче. Уравнение Эйлера.

Теорема. Пусть - доставляет слабый локальный экстремум вариационной задачи (1). Функции , , непрерывны от нескольких переменных и . Тогда выполняется уравнение Эйлера: , где

Опр. Ф-ции удовл. уравнению Эйлера называются экстремальными. Ф-ции, явл. допустимыми в задаче (1), т.е. и удовл краевым условиям называются допустимыми экстремалями задачи (1).

Док-во. Обозн.

Возьмём произвольную фиксированную функцию и рассмотрим ф-цию – т.экстремума ф-ии . Значение (по теореме Ферма), следовательно ф-ия -дифф. в точке 0.

Значит рассмотрим интеграл от 1-ого слагаемого по t.

Исходный интеграл . Док-но.

Лемма Лагранжа. Пусть ф-ия и , тогда ф-ия .

Док-во. Предположим, что в точке , () в силу непрерывности ф-ии при . Тогда выберем ф-ию положительную на отрезке .

приходим к противоречию, значит . Д-но.

Значит, по лемме Лагранжа , следовательно получим уравнение Эйлера. Док-но.

Теорема. Пусть - достигает слабый локальный экстремум задачи (1). Ф-ии , , непрерывны в некоторой окрестности . Тогда ф-ия - непрерывно-дифференцируема и выполняется условие Эйлера, т.е. .

Док-во. При док-ве данной теоремы используется теорема Дюбуа-Реймона.

Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer

Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM. SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием. Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.

Что умеет делать SeoHammer

— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.

SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.

Зарегистрироваться и Начать продвижение

Теорема (лемма Дюбуа-Реймона). Пусть ф-ия и , тогда ф-ия и выполняется след уравнение: .

Док-во. Возьмём ф-ию , такая что , а

Выберем ф-ию , . Выбрав эту ф-ию специальным образом получим . Продифференцируем данную ф-ию получаем уравнение Эйлера. Док-но.