Классификация задач вариационного исчисления.

Вариационная задача означает, как правило, нахождение функции (в рамках вариационного исчисления — уравнения на функцию), удовлетворяющей условию стационарности некоторого заданного функционала, то есть такой функции, (бесконечно малые) возмущения которой не вызывают изменения функционала по крайней мере в первом порядке малости. Также вариационной задачей называют тесно связанную с этим задачу нахождения функции (уравнения на функцию), на которой данный функционал достигает локального экстремума (во многом эта задача сводится к первой, иногда практически полностью).

Хотя задачи, к которым применимо вариационное исчисление, заметно шире, в приложениях они главным образом сводятся к двум основным задачам:

1) нахождение точек в пространстве функций, на котором определён функционал — точек стационарного функционала, стационарных функций, линий, траекторий, поверхностей и т. п. То есть нахождение для заданного Φ [f] таких f, для которых δ Φ = 0 при любом (бесконечно малом) δ f.

2) нахождение локальных экстремумов функционала, то есть в первую очередь определение тех f, на которых Φ [f] принимает локально экстремальные значения — нахождение экстремалей (иногда также определение знака экстремума).

Очевидно, обе задачи тесно связаны, и решение второй сводится (при должной гладкости функционала) к решению первой, а затем проверке, действительно ли достигается локальный. В описанном процессе выясняется и тип экстремума.

Пусть задан функционал . C подинтегральной функцией , обладающей непрерывными первыми частными производными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции, то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение , которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

К задачам вариационного исчисления относятся:

1. Простейшая задача вариационного исчисления;

2. Задача Больца;

3. Изопермическая задача;

4. Задача со старшими производными;

5. Задача с подвижными концами;

6. Задача Лагранжа.