Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Простейшая вариационная задача. Лемма Лагранжа, лемма Дюбуа-Реймона.
|
|
Простейшей задачей классического вариационного исчисления называется экстремальная задача в пр-во С1[t0; t1] вида:
, 
Фун-я 
С1[t0; t1], удовлетворяющая краевым условиям наз-ся допустимой.
.
Правило решения:
1) Формализовать задачу, т.е. привести ее к виду простейшей задачи.
2) Выписать необходимое условие – ур-ие Эйлера: 
.
3) Найти допустимые экстремали, т.е. решения ур-я Эйлера, которые являются допустимыми экстремалями.
4) Док-ть, что решением является одна из допустимых экстремалей, или, что решения нет.
Лемма Лагранжа: Пусть фун-я f(t) непрерывна на отрезке [t0; t1](f(t) 
С1[t0; t1]) и 
С1[t0; t1]. Тогда f(t) 
.
Док - во: Пусть 
в некоторой точке 
[t0; t1]. Тогда в силу непрерывности фун-я 
и в некоторой окрестности точки 
, например, отрезке
[ 0; 
1] 
[t0; t1]. Пусть 
С1[t0; t1] – положительная в этой окрестности функция и равная нулю вне ее: 
Тогда С1[t0; t1] – допустимая в лемме функция, но 
что противоречит условию леммы. Док-но.
Лемма Дюбуа-Реймона: Пустьфун-и f0, f1 
С1[a; b] и 
С1[a; b]. Тогда фун-я f1 С1[a; b] и выполняется дифференциальное ур-е 
(аналог ур-я Эйлера). Возьмём ф-ию 
, такая что 
, а 
Выберем ф-ию 
, 
. Выбрав эту ф-ию специальным образом получим 
. Продифференцируем данную ф-ию получаем уравнение Эйлера. Док-но.
|
|