Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Простейшая вариационная задача. Лемма Лагранжа, лемма Дюбуа-Реймона.






Простейшей задачей классического вариационного исчисления называется экстремальная задача в пр-во С1[t0; t1] вида:

,

Фун-я С1[t0; t1], удовлетворяющая краевым условиям наз-ся допустимой.

.

Правило решения:

1) Формализовать задачу, т.е. привести ее к виду простейшей задачи.

2) Выписать необходимое условие – ур-ие Эйлера: .

3) Найти допустимые экстремали, т.е. решения ур-я Эйлера, которые являются допустимыми экстремалями.

4) Док-ть, что решением является одна из допустимых экстремалей, или, что решения нет.

Лемма Лагранжа: Пусть фун-я f(t) непрерывна на отрезке [t0; t1](f(t) С1[t0; t1]) и С1[t0; t1]. Тогда f(t) .

Док - во: Пусть в некоторой точке [t0; t1]. Тогда в силу непрерывности фун-я и в некоторой окрестности точки , например, отрезке

[ 0; 1] [t0; t1]. Пусть С1[t0; t1] – положительная в этой окрестности функция и равная нулю вне ее:

Тогда С1[t0; t1] – допустимая в лемме функция, но что противоречит условию леммы. Док-но.

Лемма Дюбуа-Реймона: Пустьфун-и f0, f1 С1[a; b] и С1[a; b]. Тогда фун-я f1 С1[a; b] и выполняется дифференциальное ур-е (аналог ур-я Эйлера). Возьмём ф-ию , такая что , а

Выберем ф-ию , . Выбрав эту ф-ию специальным образом получим . Продифференцируем данную ф-ию получаем уравнение Эйлера. Док-но.


 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.