Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Простейшая вариационная задача. Лемма Лагранжа, лемма Дюбуа-Реймона.
Простейшей задачей классического вариационного исчисления называется экстремальная задача в пр-во С1[t0; t1] вида: , Фун-я С1[t0; t1], удовлетворяющая краевым условиям наз-ся допустимой. . Правило решения: 1) Формализовать задачу, т.е. привести ее к виду простейшей задачи. 2) Выписать необходимое условие – ур-ие Эйлера: . 3) Найти допустимые экстремали, т.е. решения ур-я Эйлера, которые являются допустимыми экстремалями. 4) Док-ть, что решением является одна из допустимых экстремалей, или, что решения нет. Лемма Лагранжа: Пусть фун-я f(t) непрерывна на отрезке [t0; t1](f(t) С1[t0; t1]) и С1[t0; t1]. Тогда f(t) . Док - во: Пусть в некоторой точке [t0; t1]. Тогда в силу непрерывности фун-я и в некоторой окрестности точки , например, отрезке [ 0; 1] [t0; t1]. Пусть С1[t0; t1] – положительная в этой окрестности функция и равная нулю вне ее: Тогда С1[t0; t1] – допустимая в лемме функция, но что противоречит условию леммы. Док-но. Лемма Дюбуа-Реймона: Пустьфун-и f0, f1 С1[a; b] и С1[a; b]. Тогда фун-я f1 С1[a; b] и выполняется дифференциальное ур-е (аналог ур-я Эйлера). Возьмём ф-ию , такая что , а Выберем ф-ию , . Выбрав эту ф-ию специальным образом получим . Продифференцируем данную ф-ию получаем уравнение Эйлера. Док-но.
|