Двойственный симплекс-метод.

Двойственный симплекс метод состоит в том, что если мы не можем подобрать базисный план для задачи (1), то можем воспользоваться двойственной задачей.

Z=с^Tx→ max

Ax=b (1)

x≥ 0

Пусть ∆ ^Т≤ 0 предположим, что у вектора х_Б есть отрицательная координата. Возможно ли использовать данный допустимый базисный план, при поиске искомого решения

Рассмотрим двойственную задачу:

w=b^Ty→ min (2)

A^Ty≥ c

v=A^Ty-c≥ 0

w= b^Ty+0v→ min

A^Ty-v=c

v≥ 0

∆ ^T=c^T-c_Б^TA_Б^-1A≤ 0 c_Б^ТА^-1_БА≥ c^Т

А^Т(А_Б^-1)^Тc_Б≥ c у=(А_Б^-1)^Тc_Б

А^Ту≥ c у=(А_Б^-1)^Тc_Б – допустимый план значений (2)

=(y, v) D=(А^Т -Е)

∆ ^T=b^Т-b_Б^ТD_Б^-1D ∆ ^T_j=b^Т-b_Б^ТD_j^-1D

Если jϵ Б А_Б=Е, то ∆ =-V, ∆ _Б=0, ∆ _Н≤ 0 v_Н≥ 0

_Б=(у, v_Н) =v_Б

D_Б= D_Н=

D= =D_Б +D_Н(v_Б)=c

=0 =0-(b^T 0)D_Б^-1D_Н D_БD_Н=

= -(b^T 0) =b^Т= x_Б ≥ 0

Выбранный нами базис не является решением. Оптимальный план можно улучшить

х= → i₀, t< 0

Вводим координату х₀ в базисную. Выводим из вектора у координату у_i0. Находим ϴ =min

Определим, какую переменную необходимо вывести из базиса, а какую ввести в небазисный

D_Б +D_Н V_Б=c D_Б^-1D_Б +D_Б^-1D_Нv_Б=D_Б^-1c

+D_Б^-1D_Нv_Б=D_Б^-1c

+D_БD_Нv_Б=D_Бc

+ v_Б=

у_Т-v_Б=с_Б

v_Н-А_Н^Тv_Б=А_Н^Тс_Б-с_Н

v_Н= А_Н^Тс_Б-с_Н+ А_Н^Тv_Б

jϵ H v_j=A_j^Тс_Б-с_j+A_j^Тv_Б

v_j=∆ _j+A_j^Тv_Б

v_Б= ← i₀ t> 0