Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
П а р а б о л а
|
|
Означення: Параболою називають геометричне місце точок площини, відстані від яких до заданої точки (фокуса) й заданої прямої (директриси) рівні.
Виведемо рівняння параболи.
Нехай на площині дано точку F та пряму d. Візьмемо таку систему координат хОу, щоб вісь абсцис (ОХ ) проходила через фокус F перпендикулярно до прямої d, а вісь ординат (OY) ділила відстань між фокусом і директрисою навпіл (рис.1).
Відстань між фокусом і директрисою параболи позначимо через р: AF=p
За означенням р > 0, тоді точка F має координати (
,
а рівнянням директриси є 
Нехай М (х, у) — довільна точка площини. Точка М, за означенням, буде точкою параболи тоді і тільки тоді, коли 
. (1)
Y
B ( 
B M (x; y ) Відрізок FM - фокальний
радіус т. М параболи
AOF (
X
d 
мал.1
Запишемо рівність (1) у координатах.
За формулою відстані між двома точками А(х1; у1; ), B (х2; у2; )
׀ АВ ׀ = 
дістанемо
,
.
Оскільки, за означенням параболи, , то отримаємо
(2)
Піднесемо обидві частини рівності (2) до квадрату й здійснимо перетворення:
,
,
,
, p> 0 (3)
1 Канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі ОХ, із вершиною в
початку координат і вітки якої напрямлені вправо ( мал.1 )
, p> 0
координати фокусаF (,
рівняння директриси .
Y
B M (x; y )
AOF ( X
d
мал.1
2. Канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі ОХ, із вершиною в початку координат і вітки якої напрямлені вліво ( мал.2)
, p> 0
координати фокусаF (- ,
рівнянням директриси 
.
Y
F(- O X
мал.2
3. Канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі OY, із вершиною в початку координат і вітки якої напрямлені вгору (мал. 3)
, p > 0
Y
F(0; 
)
y = - 
OX
мал.3
координати фокусаF (
,
рівняння директриси 
. (див. мал.3)
4. Канонічне рівняння параболи, симетричної відносно осі OY, із вершиною в початку координат і вітки якої напрямлені вниз (мал.4)
, p > 0
координати фокусаF (
,
рівняння директриси 
. (див.мал.4)
Y
y = 
O X
F 
мал. 4
|
|