💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

В л а с т и в о с т і е л і п с а

1 .Еліпс належить до кривих другого порядку (це випливає із канонічного

рівняння еліпса).

2 .Еліпс є обмеженою кривою.

3 .Еліпс має вертикальну та горизонтальну осі симетрії, а також центр симетрії.

4 .Еліпс перетинає осі координат у точках A₁(-a; 0), A₂ (a; 0), B₁(0; -b), B₂(0; b), які є вершинами еліпса.

Величини 2а і 2b називаються відповідно великою та малою осями еліпса, а а і b - напівосями.

(Таким чином, еліпс вміщується в прямокутник із сторонами 2а і 2b. Сторони прямокутника дотикаються до еліпса в його вершинах.)

5. За напівосями можна побудувати еліпс

(беруть нерозтяжну нитку довжиною 2а; кінці нитки закріплюють у фокусах F₁ і F₂; олівцем натягують нитку і креслять еліпс).

Якщо у канонічному рівнянні еліпса а =b, то дістанемо рівняння кола =

Приклад 2. Знайти координати фокусів, довжини осей і ексцентриситет еліпса, заданого рівнянням .

Розв΄ язання:

Зведемо рівняння еліпса до канонічного рівняння, поділивши обидві частини рівності на 32:

,

.

Одержали, що , , звідки а = 4 і b = .

Оскільки b > а, то фокуси еліпса розташовані на осі ординат. Вони мають координати F₁(0; c), F₂(0; - c), де знаходимо із співвідношення r w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> .

Підставимо значення а = 4 і b , одержимо

; , c = 4.

Отже, фокусами будуть точки F₁(0; 4), F₂(0; -4).

Знайдемо: велику вісь еліпса 2b = ; малу вісь 2a = 8; ексцентриситет еліпса

ε .

Відповідь: координати фокусів - F₁(0; 4), F₂(0; -4); довжини осей - 2b = , 2a = 8;

ε .

Приклад 3. Скласти канонічне рівняння еліпса, у якого мала вісь дорівнює 6, а відстань між фокусами - 8.

Розв΄ язання:

Оскільки мала вісь 2b = , а 2с = 8, то b = , c = 4. Тоді фокуси розташовані на осі ОХ.

Із cпіввідношення міжа, b і c: r w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> , знайдемо а:

r w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> ,

, тобто .

Отже, канонічне рівняння еліпса має вигляд .

Відповідь: .

Приклад 4. Записати канонічне рівняння еліпса, що проходить через точку М(5; 0), якщо фокальна відстань дорівнює 6.

Розв΄ язання:

Оскільки відстань між фокусами дорівнює 6, то с= 3. За умовою точка М(5; 0) належить еліпсу, тож її координати задовольняють рівняння еліпса. Тому , .

Із рівності знаходимо .

Отже, шукане рівняння

.

Відповідь:

Приклад 5. Звести до канонічного вигляду рівняння і показати, що воно є рівнянням еліпса. Знайти координати фокусів.

Розв΄ язання:

Перепишемо дане рівняння у вигляді і поділимо обидві його частини на 3600:

.

Це рівняння еліпса. Оскільки для еліпса і , , то

, тобто с = 8. Фокуси еліпса знаходитимуться в точках F₁(-8; 0), F₂(8; 0).

Відповідь: Фокуси еліпса F₁(-8; 0), F₂(8; 0).

Приклад 6. Записати рівняння еліпса, фокусами якого є точки (0; - ) і ( ), а велика вісь дорівнює 6.

Розв΄ язання:

Фокуси еліпса лежать на осі ОY, отже, 2b= 6, тоді b= 3.

За формулою знаходимо r wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> . Підставивши значення і в канонічне рівняння, маємо .

Відповідь: .

Приклад 7. Записати рівняння еліпса з фокусами на осі ОХ, якщо відстань між фокусами дорівнює 12, а ексцентриситет ε = 0, 6.

Розв΄ язання:

За умовою задачі F₁ F₂ = 2с=12, отже, с=6, ε = = 0, 6. Підставивши в цю рівність значення с = 6, дістанемо , тобто a = 10.

За формулою знайдемо .

Отже, шукане рівняння має вигляд

> .

Відповідь: > .

Г і п е р б о л а

Означення: Гіперболою називають геометричне місце точок площини, для яких модуль різниці відстаней до двох заданих точок (фокусів) є величиною сталою й меншою, ніж відстань між фокусами.

Виведемо рівняння гіперболи. Виберемо систему координат таким чином, щоб вісь ОХ проходила через фокуси F₁ і F₂, а вісь ОY – через середину відрізка F₁ F₂ перпендикулярно до нього. Тоді у вибраній системі координат фокуси мають координати: F₁(-с; 0), F₂(с; 0).

Візьмемо на гіперболі довільну точку М(х; y).

За означенням гіперболи відстань між фокусами 2с більша за різницю відстаней до фокусів 2а, тому 2с > 2а або а < с і маємо ,

. (1)

Запишемо рівність (1) у координатах.

За формулою відстані між двома точками А(х_1; у_1; ), B (х_2; у_2; )

׀ АВ ׀ = дістанемо

, (2)

Перенесемо один корінь у праву частину й піднесемо до квадрата обидві частини рівності:

,

,

,

виконаємо спрощення:

,