Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






    • В л а с т и в о с т і е л і п с а


    ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 62Следующая ⇒




    1 .Еліпс належить до кривих другого порядку (це випливає із канонічного

    рівняння еліпса).

    2 .Еліпс є обмеженою кривою.

    3 .Еліпс має вертикальну та горизонтальну осі симетрії, а також центр симетрії.

    4 .Еліпс перетинає осі координат у точках A1(-a; 0), A2 (a; 0), B1(0; -b), B2(0; b), які є вершинами еліпса.

    Величини 2а і 2b називаються відповідно великою та малою осями еліпса, а а і b - напівосями.

    (Таким чином, еліпс вміщується в прямокутник із сторонами 2а і 2b. Сторони прямокутника дотикаються до еліпса в його вершинах.)

    5. За напівосями можна побудувати еліпс

    (беруть нерозтяжну нитку довжиною 2а; кінці нитки закріплюють у фокусах F1 і F2; олівцем натягують нитку і креслять еліпс).

    Якщо у канонічному рівнянні еліпса а =b, то дістанемо рівняння кола =

    з центром у початку координат і радіусом b.

    (Оскільки для еліпса , то при а = b маємо с =0. Таким чином, коло – це еліпс, у якого фокуси збігаються з центром симетрії, тобто фокальна відстань дорівнює нулю.)

    Еліпс, фокуси якого лежать на осі ОY

     

     

    Якщо фокуси еліпса F1(0; c), F2(0; - c) лежать на осі ОY, то його канонічне рівняння має вигляд

     


    , b> а(5)


    cпіввідношення між а, b і c:

     

    Координати вершин еліпса A1(a; 0), A2 (-a; 0), B1(0; b), B2(0; -b),

    B1 B2 = 2b – велика вісь,

    A1 A2 = 2a – мала вісь,

    F1 F2 = 2с - фокальна відстань.

     

    Слід зауважити, що звичайним циркулем еліпс побудувати неможливо, бо будь-якої довжини дуга не може збігатися з будь-якою частиною еліпса. Фігура, подібна за формою до еліпса і побудована за допомогою циркуля, не еліпс, а овал. Еліпс одержується механічно шляхом обертання гнучкого круга кільцевої форми.

     

    Ексцентриситет еліпса

    Для характеристики еліпса вводять поняття ексцентриситета еліпса, який характеризуєвідхилення еліпса від кола – степінь «витягнутості» еліпса.

    Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
    Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM. SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием. Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
    Что умеет делать SeoHammer
    — Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
    — Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
    — Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
    — SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
    SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.
    Зарегистрироваться и Начать продвижение

    Означення: Ексцентриситетом еліпса називається відношення відстані між фокусами до довжини великої осі.

    Ексцентриситет еліпса позначається буквою ε:

    ε або ε .

    Оскільки, за означенням 2а > 2с, то ексцентриситет еліпса ε завжди є правильним дробом, тобто 0 ε .

    Якщо величина ексцентриситету еліпса ε ≈ 1, то еліпс сильно «витягнутий» уздовж

    великої осі; при малому значенні ексцентриситету еліпса ε (ε ≈ 0 ) еліпс близький до кола. Якщо ε = 0, то еліпс перетворюється в коло.

     

     

    Приклади розв’язування задач

    Приклад 1. Еліпс задано рівнянням . Визначити довжину його осей, координати вершин і фокусів.

    Розв΄ язання:

    Зведемо рівняння еліпса до канонічного рівняння, поділивши обидві частини даного рівняння на 36, дістанемо

    .

    звідки і , або а = 3 і b = 2. Отже, велика вісь еліпса A1 A2 = 2а=6, мала B1 B2 = 4.

    Вершинами еліпса будуть точки A1(-3; 0), A2 (3; 0), B1(0; -2), B2(0; 2). Для відшукання фокусів використаємо , звідки

    ,

    .

    Отже, фокусами будуть точки F1(- ; 0), F2( ; 0).

    Відповідь: довжини осей - A1 A2 =6, B1 B2 = 4; координати вершин - A1(-3; 0), A2 (3; 0), B1(0; -2), B2(0; 2); координати фокусів - F1(- ; 0), F2( ; 0).

     

    Приклад 2. Знайти координати фокусів, довжини осей і ексцентриситет еліпса, заданого рівнянням .

    Розв΄ язання:

    Зведемо рівняння еліпса до канонічного рівняння, поділивши обидві частини рівності на 32:

    ,

    .

    Одержали, що , , звідки а = 4 і b = .

    Оскільки b > а, то фокуси еліпса розташовані на осі ординат. Вони мають координати F1(0; c), F2(0; - c), де знаходимо із співвідношення r w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> .

    Підставимо значення а = 4 і b , одержимо

    ; , c = 4.

    Отже, фокусами будуть точки F1(0; 4), F2(0; -4).

    Знайдемо: велику вісь еліпса 2b = ; малу вісь 2a = 8; ексцентриситет еліпса

    ε .

    Відповідь: координати фокусів - F1(0; 4), F2(0; -4); довжини осей - 2b = , 2a = 8;

    ε .

    Приклад 3. Скласти канонічне рівняння еліпса, у якого мала вісь дорівнює 6, а відстань між фокусами - 8.

    Розв΄ язання:

    Оскільки мала вісь 2b = , а 2с = 8, то b = , c = 4. Тоді фокуси розташовані на осі ОХ.

    Із cпіввідношення міжа, b і c: r w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> , знайдемо а:

    Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
    — Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
    — Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
    — Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
    — Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
    — Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
    — Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
    — Включает в себя сервис чаевых.

    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Зарегистрироваться в сервисе

    r w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> ,

    , тобто .

    Отже, канонічне рівняння еліпса має вигляд .

    Відповідь: .

    Приклад 4. Записати канонічне рівняння еліпса, що проходить через точку М(5; 0), якщо фокальна відстань дорівнює 6.

    Розв΄ язання:

    Оскільки відстань між фокусами дорівнює 6, то с= 3. За умовою точка М(5; 0) належить еліпсу, тож її координати задовольняють рівняння еліпса. Тому , .

    Із рівності знаходимо .

    Отже, шукане рівняння

    .

    Відповідь:

    Приклад 5. Звести до канонічного вигляду рівняння і показати, що воно є рівнянням еліпса. Знайти координати фокусів.

    Розв΄ язання:

    Перепишемо дане рівняння у вигляді і поділимо обидві його частини на 3600:

    .

    Це рівняння еліпса. Оскільки для еліпса і , , то

    , тобто с = 8. Фокуси еліпса знаходитимуться в точках F1(-8; 0), F2(8; 0).

    Відповідь: Фокуси еліпса F1(-8; 0), F2(8; 0).

     

    Приклад 6. Записати рівняння еліпса, фокусами якого є точки (0; - ) і ( ), а велика вісь дорівнює 6.

    Розв΄ язання:

    Фокуси еліпса лежать на осі ОY, отже, 2b= 6, тоді b= 3.

    За формулою знаходимо r wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> . Підставивши значення і в канонічне рівняння, маємо .

    Відповідь: .

    Приклад 7. Записати рівняння еліпса з фокусами на осі ОХ, якщо відстань між фокусами дорівнює 12, а ексцентриситет ε = 0, 6.

    Розв΄ язання:

    За умовою задачі F1 F2 = 2с=12, отже, с=6, ε = = 0, 6. Підставивши в цю рівність значення с = 6, дістанемо , тобто a = 10.

    За формулою знайдемо .

    Отже, шукане рівняння має вигляд

    > .

    Відповідь: > .

     

     

    Г і п е р б о л а

     

    Означення: Гіперболою називають геометричне місце точок площини, для яких модуль різниці відстаней до двох заданих точок (фокусів) є величиною сталою й меншою, ніж відстань між фокусами.

    Виведемо рівняння гіперболи. Виберемо систему координат таким чином, щоб вісь ОХ проходила через фокуси F1 і F2, а вісь ОY – через середину відрізка F1 F2 перпендикулярно до нього. Тоді у вибраній системі координат фокуси мають координати: F1(-с; 0), F2(с; 0).

    Візьмемо на гіперболі довільну точку М(х; y).

     

    За означенням гіперболи відстань між фокусами 2с більша за різницю відстаней до фокусів 2а, тому 2с > 2а або а < с і маємо ,

    . (1)

    Запишемо рівність (1) у координатах.

    За формулою відстані між двома точками А(х1; у1; ), B (х2; у2; )

    ׀ АВ ׀ = дістанемо

     

    , (2)

    Перенесемо один корінь у праву частину й піднесемо до квадрата обидві частини рівності:

    ,

    ,

    ,

    виконаємо спрощення:

    ,

    ,

    ,

    поділимо ліву і праву частини рівності на 4:

    ,

    знову піднесемо обидві частини рівності до квадрата:

    ,

    ),

    розкриємо дужки

    ,

    ,

    згрупуємо доданки

    ,

    ,

    (3)

    Оскільки за означенням гіперболи F1 F2 > ( , тобто 2с > 2а, то > 0.

    Позначимо .

    Тоді рівність (3) запишемо так:

    .

    Поділивши обидві частини цієї рівності на , дістанемо

     


    (4)


    Рівняння (4) канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі ОХ.


    cпіввідношення між а, b і c:


    ⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒




    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.