К р и в і д р у г о г о п о р я д к у н а п л о щ и н і

Міністерство освіти і науки України

Бердичівський коледж промисловості, економіки та права

Волошина З. П.

Методична розробка

з дисципліни «Основи вищої математики»

на тему: «Криві другого порядку»

Для студентів другого курсу спеціальності 5.05050302

«Технологія обробки матеріалів на верстатах і автоматичних лініях»

Бердичів 2009

Автор-укладач З.П. Волошина

Методична розробка з дисципліни «Основи вищої математики» на тему: «Криві другого порядку»

У даній методичній розробці викладено, у розширеному вигляді, матеріал щодо вивчення кола, еліпса, гіперболи, параболи. Для кожної з кривих другого порядку наведено хід виведення канонічного рівняння, сформульовані їх властивості та поняття ексцентриситету.

Для еліпса і гіперболи розглянуто окремі випадки розташування їх фокусів на осі ОХ та ОY, відповідні канонічні рівняння, дано означення та поняття рівносторонньої гіперболи, її асимптот.

У методичній розробці наведено 4 види канонічних рівнянь параболи, симетричної відносно осі ОХ (ОY), із вершиною початку координат і вітки якої напрямлені вправо, вліво (вгору, вниз), рівняння директрис. Розглянуто 4 типи рівнянь параболи із суміщеною вершиною, та їх характеристика.

Блок навчально-методичного забезпечення кожної теми включає в повному обсязі викладений теоретичний матеріал, детально наведені приклади на закріплення цього матеріалу.

В кінці розробки вказано використану літературу.

Розробка розрахована для студентів другого курсу спеціальності «Технологія обробки матеріалів на верстатах і автоматичних лініях».

Розглянуто на засіданні циклової комісії

фізико-хіміко-математичних дисциплін

Протокол № від 2009р.

Голова циклової комісії:

О.О.Горленко.

План

· Криві другого порядку на площині.

• Коло.
• Еліпс.
• Гіпербола.
• Парабола.
• Канонічні рівняння кривих другого порядку.

К р и в і д р у г о г о п о р я д к у н а п л о щ и н і

Множині рівнянь, що зв’язують дві змінні у деякій плоскій системі координат, відповідає множина кривих найрізноманітніших форм. Пряма лінія – частинний випадок кривої. Криву можна розглядати як слід переміщення точки. У математиці криву задають аналітично, тобто її рівнянням. Тут ми розглянемо лише криві другого порядку, тобто їх рівняння є алгебраїчними рівняннями відносно двох змінних, які входять у нього не вище як у другому степені. Отже, в загальному плані крива другого порядку описується рівнянням

де A, B, C, D, E - деякі коефіцієнти, які можуть приймати різні значення.

Коефіцієнти A, B, C одночасно нулю дорівнювати не можуть.

Найпоширеніші з кривих другого порядку – еліпс і його частинний випадок – коло, гіпербола і парабола.

Про еліпс згадується ще у середній школі у зв’язку з вивченням закону всесвітнього тяжіння і рухом планет навколо Сонця та рухом штучних супутників навколо Землі. Спостерігаючи за рухом планет навколо Сонця, Кеплер склав таблиці, що описували їх положення на небесній сфері і підтверджували той факт, що всі планети рухаються навколо Сонця по еліпсах. Французький вчений Левер’є, аналізуючи таблиці Кеплера, прийшов до висновку, що в русі останньої на той час планети Уран спостерігаються значні відхилення від еліптичної траєкторії. Він робить припущення, що причиною цих відхилень є невідома на той час планета, яка знаходиться далі від Сонця, ніж Уран. Після тривалих і складних обчислень він знаходить координати нової планети. Тому про нову планету (її потім було названо Нептуном) кажуть, що вона була відкрита “на кінчику олівця”.

З еліпсом доводиться мати справу і в техніці: еліптичний циркуль для креслення еліпса і на його зворотній дії побудовано патрон Леонардо да Вінчі для верстатів, за допомогою яких обробляються деталі з перерізом еліптичної форми. У конструкціях ряду верстатів застосовуються зубчасті еліптичні передачі (рис.1). Загальновідомо також, що від прожектора світлові промені йдуть паралельним пучком, а їх дзеркала параболічні, тобто будь-який їх осьовий переріз є параболою. І навпаки, лінза з осьовим параболічним перерізом збирає паралельні промені в одну точку. На цій основі можна за допомогою такої лінзи одержувати в її фокусі високі температури.

Рис.1

Більшість типів ліній другого порядку відомі давно, їх досить добре вивчив Аполлоній. Він утворював основні типи ліній другого порядку як плоскі перерізи кругового конуса, тому в математичній літературі лінії другого порядку відомі ще як конічні перерізи.

Лінії другого порядку зустрічаються в явищах навколишнього світу: по еліпсу рухаються планети Сонячної системи, по гіперболі або параболі — комети. Траєкторія руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, є параболою.