Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Некоторые обобщенные требования к выбору численных методов






     

    Рассмотренные выше вопросы о погрешностях являются одними из важнейших моментов при выборе численного метода. В основе выбора численного метода лежат следующие соображения.

    1) Можно утверждать, что нет ни одного метода, пригодного для решения всех задач одного и того же класса. Поэтому всегда стоит задача выбора численного метода (ЧМ), сообразуясь из конкретной технической задачи.

    2) Численный метод можно считать удачно выбранным:

    – если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности, а погрешность округлений в несколько раз меньше погрешности метода;

    – если неустранимая погрешность отсутствует, то погрешность метода должна быть несколько меньше заданной точности;

    – завышенное снижение погрешности численного метода приводит не к повышению точности результатов, а к необоснованному увеличению объема вычислений.

    3) Предпочтение отдается методу, который:

    – реализуется с помощью меньшего числа действий;

    – требует меньшего объема памяти ЭВМ;

    – логически является более простым.

    Перечисленные условия обычно противоречат друг другу, поэтому часто при выборе численного метода приходится соблюдать компромисс между ними.

    4) Численный метод должен обладать устойчивостью и сходимостью.

    5) По возможности нужно прибегать к существующему программному обеспечению ЭВМ для решения типовых задач.

    6) Нужно помнить всегда, что ЭВМ многократно увеличивает некомпетентность Исполнителя технической задачи.


    Раздел 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений

     

    Основные понятия и определения

     

    Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) являются важной математической моделью линейной алгебры. На их базе ставятся такие практические математические задачи, как:

    – непосредственное решение линейных систем;

    – вычисление определителей матриц;

    – вычисление элементов обратных матриц;

    – определение собственных значений и собственных векторов матриц.

    Решение линейных систем является одной из самых распространенных задач вычислительной математики. К их решению сводятся многочисленные практические задачи нелинейного характера, решения дифференциальных уравнений и др.

    Вторая и третья задачи являются также и компонентами технологии решения самих линейных систем.

    Обычно СЛАУ n -го порядка записывается в виде

    или в развернутой форме

    (1)

    или в векторной форме

    , (2)

    где

    ; ; .

    В соотношениях (2):

    А называется основной матрицей системы с n 2 элементами;

    = (x 1, x 2,..., xn)Т – вектор-столбец неизвестных;

    = (b 1, b 2,..., bn)Т – вектор-столбец свободных членов.

    Определителем (детерминантом – det) матрицы А n -го порядка называется число D (det A), равное

    .

    Здесь индексы a, b,..., w пробегают все возможные n! перестановок номеров 1, 2,..., n; k – число инверсий в данной перестановке.

    Первоначальным при решении СЛАУ (1) является анализ вида исходной матрицы А и вектора-столбца свободных членов в (2).

    Если все свободные члены равны нулю, т.е. = 0, то система называется однородной. Если же ¹ 0, или хотя бы одно bi ¹ 0 (), то система (2) называется неоднородной.

    Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель | A | ¹ 0. При этом система (1) имеет единственное решение.

    При | A | = 0 матрица А называется вырожденной, или особенной, а система (1) не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.

    Если | A |» 0 система (1) называется плохо обусловленной, т.е. решение очень чувствительно к изменению коэффициентов системы.

    В ряде случаев получаются системы уравнений с матрицами специальных видов: диагональные, трехдиагональные (частный случай ленточных), симметричные (аij = aji), единичные (частный случай диагональной), треугольные и др.

    Решение системы (2) заключается в отыскании вектора-столбца = (x 1, x 2,..., xn)Т, который обращает каждое уравнение системы в тождество.

    Существуют две величины, характеризующие степень отклонения полученного решения от точного, которые появляются в связи с округлением и ограниченностью разрядной сетки ЭВМ, – погрешность e и «невязка» r:

    (3)

    где – вектор решения. Как правило, значения вектора – неизвестны.

    Доказано, что если e» 0, то и r = 0. Обратное утверждение не всегда верно. Однако если система не плохо обусловлена, для оценки точности решения используют невязку r.

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.